ヨビノリの動画「【確率統計】中心極限定理の気持ち【特別講義】」へのツッコミ

ヨビノリたくみ😬 @Yobinori

【新着動画】確率論や統計学における最重要性質の1つである中心極限定理を解説 だから正規分布は"偉い" youtu.be/CHOLN1tAJWI pic.twitter.com/Y1xFkLT4Xi

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paleperlite @paleperlite

たまたまこの動画を見たのだけど、編集の技術の高さに感心する一方、内容について少し気になる点があったのでツイートしていく。 twitter.com/Yobinori/statu…

paleperlite @paleperlite

この動画は「中心極限定理の気持ち」なるタイトルがついています。 「気持ち」というので何を意味するのかは明瞭ではありませんが「1.中心極限定理を成立させるメカニズム」や「2.中心極限定理の主張の直観的内容」辺りの説明を期待するのが妥当でしょう。

paleperlite @paleperlite

この動画では上記の2.についてのみ触れています。1.はテクニカルな話になるので恐らく専門知識を持たない人を対象にしたこの動画で扱わないことに疑問はありません。ただ気になるのは2.の説明が表層に留まっていることです。

paleperlite @paleperlite

この動画の説明は概ねただ中心極限定理の主張を丁寧に言いなおしているだけのように見えます。つまり、この定理の記述する現象の説明にはなっていないと思います。こう書くだけでは具体性のない批判になってしまうので、中心極限定理の直観的説明の具体案を提示していきます。

paleperlite @paleperlite

といっても別に新規性のある話では無くて、よくある説明を繰り返すだけですが。中心極限定理がどのような現象を表す定理なのかを説明するにはまず、大数の法則について触れる必要があります。大数の法則とは期待値有限な独立同分布確率変数列の算術平均がその期待値に収束するという定理です。

paleperlite @paleperlite

大数の法則には強法則、弱法則とがありますが、収束の意味が違うだけで、期待値への集中現象という点は変わりません。期待値に集中するとは言え、1つ1つの確率変数は期待値とはずれた値をとり得る。この期待値からのずれを積み重ねていくとどのように分布するのか。それを記述するのが中心極限定理です

paleperlite @paleperlite

中心極限定理は期待値への集中現象において期待値からの誤差を積み重ねていくと(適切なスケーリングのもとで)正規分布に近づくことを述べる定理だということです。つまり中心極限定理は「誤差の積み重ねの分布を記述する定理」だということです。これを強調したいです。

paleperlite @paleperlite

まとめると 1.標本平均は期待値に近づくという集中現象（大数の法則） 2.集中現象における誤差の積み重ねは正規分布に従う(中心極限定理) という2ステップの説明がよいと思います。

paleperlite @paleperlite

この動画の人がどうかは知りませんが、意外と大数の法則と中心極限定理の記述する現象の違いを曖昧にしている人が多いように思います。 以上が「中心極限定理の気持ち」の説明の対案になります。

paleperlite @paleperlite

あと他にも少し気になる点が。動画後半で中心極限定理の応用例として新成人の身長の平均の推定についての話があるのですが、その説明の中で少しどうかなと思う点がありました。

paleperlite @paleperlite

その説明では身長の分布の形を仮定せずに、サンプルを100をとった時の標本平均と真の平均とのずれを見ているのですが、そこでは標本平均の分布が正規分布に従うとして議論しています。これは少し危ういです。

paleperlite @paleperlite

分布に仮定を入れなくてはどれくらい標本を多くとれば分布を正規分布だと近似してよいかは分かりません。もちろんそのことは承知の上で説明しているとは思いますが、その注意はあるべきです。実際に検定を行う上でも重要な問題のはずなので。

paleperlite @paleperlite

あと最後にもう1つだけ小さな注意を。中心極限定理の説明で確率収束といっているが正しくは法則収束。 これは邪推になってしまいますが、個人的な感覚として確率収束と法則収束を混同するのはあり得ないと思うので、この人はあまり確率論に詳しくないのではないかと思いました。

ヨビノリたくみ😬 @Yobinori

@paleperlite ご指摘ありがとうございます 本来は「確率収束とか"法則収束"とかっていう数学的に込み入った〜」と表現したつもりでしたが完全に単語が欠落していました。個人的には深く理解しているはずの内容だけに悔しいところです(続

ヨビノリたくみ😬 @Yobinori

@paleperlite 本来はボコボコに叩いてしかるべき所(?)を、丁寧なご指摘の上、さらには具体的な対案を出していただき大変感謝しております。動画の固定コメントで今回の件に関する訂正を追加させていただきました。至らない点もあるかと思いますが、今後ともよろしくお願い致します

paleperlite @paleperlite

以上長々とelementaryなことを偉そうに書いてしまったけれど、先にも書いたように動画の編集や説明の仕方は素晴らしかったです。今後は動画を追っていきたいと思います。