「群構造」、「位相空間」？…数学で「空間」と呼ぶのはどんな構造か

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@dom_de_codom @R_O_R_I_J_O 「線形空間はけっこう幾何的」というのは頷けるのですが、（合同変換群の連想で）「群はけっこう幾何的」と誰かが言ったら、私は同様に頷いてしまいそうです。

だいたい全部まなぶ @R_O_R_I_J_O

@y_bonten @dom_de_codom 全ての概念は幾何的、な気もしてきた（） よく知らないですがトポスを通して見れば論理でさえ幾何的に思えるみたいですし……

ゆうな @kawauSOgood

@wasiike ありがとうございます！ 測度は確かに空間といいますね…現実世界的な広がりがあるからでしょうね。 距離的なものをもつ構造を空間という意見多いですー！

ゆうな @kawauSOgood

@MQ_null 詳しくありがとうございます！ やはり、我々が普段慣れ親しむ「空間」に近いようなものを空間と呼ぶ感じはありますねー

花村 鴻太郎🌗 @wasiike

@dom_de_codom 測度論はむしろ僕たちが意識する空間とは離れて、一般の集合を対象にしている思ってたのでなんで測度「集合」じゃなくて、測度「空間」と言うんだろうと不思議な例として挙げてみました！ なんでなのかはわかりませんが。

ゆうな @kawauSOgood

@R_O_R_I_J_O @y_bonten 私は認知心理額的な世界を基点にしているので、その意味で幾何的とか言ってますが、空間と呼ぶ慣習は認知心理学的かもしれないと思いました。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@dom_de_codom @R_O_R_I_J_O 認知心理学的に見ると線形空間の幾何っぽさと群の幾何っぽさとの間に線が引けそうなら、面白そうですね。

ゆうな @kawauSOgood

@wasiike なるほど、そうでしたか。測度論のはじめの頃の、量を抽象化する時に、要素の各点に広がりを持たせるという話から「空間」を連想したのかと思ってました。

ゆうな @kawauSOgood

@y_bonten @R_O_R_I_J_O 線が引けそうでびっくりなんですよ。 論理でやってきた数学に、以外に人間臭いところが見つかって。笑

花村 鴻太郎🌗 @wasiike

@dom_de_codom なるほど！ つまり測度論の誕生の頃は、空間の広がりに対して与えた量を測度と言っていて、その名残が測度空間という言葉に残ってるということですかね！ あまり詳しくないのですが、測度空間という言葉自体がカラテオドリ以前から存在した言葉だったのかもしれないですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@dom_de_codom @R_O_R_I_J_O そうなのですね。素朴に考えると、線形空間や群の具体例としてどんなものをその人が知っているかによって全然変わってくる話のように思われますが。

ゆうな @kawauSOgood

@y_bonten @R_O_R_I_J_O もちろんその通りなのですが、数学の歴史の中で認知を手がかりにしていた部分があるようで、そこに面白さを感じています。 これからは認知によらない、「空間は慣習としてそう呼んでいた」という時代になるんでしょうね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@dom_de_codom @R_O_R_I_J_O なるほど、歴史的には、現在知られているよりもずっと限られた例を抽象化して線形空間や群の概念が確立したのでしょうから、仰るようなことは大いにありそうですね。線引きが明文化できたら是非お知らせください。

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

@togetter_jp @dom_de_codom 「位相が入ると空間」だと順序集合は空間ですね。順序集合から順序集合への写像は、{x∈X|a≤x}を開基として入れた位相で連続であることと広義単調増加であることが同値です。

ゆうな @kawauSOgood

@kamo_hiroyasu @togetter_jp とっっても面白いですね！！ 後でトゥギャッターに加えてもよいですか？ 浅学で、順序を入れただけなことと、連続であることが結びつかないのですが、このことが詳しく載っている資料はありますか？

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

@dom_de_codom @togetter_jp 面白いと思っていただいて幸いです。togetterへの追加は歓迎します。文献を探すのが面倒で、待ち時間に自分で書きました。taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/or…