部分列について

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「数列{b_n}の各項が数列{a_n}のどれかの項になっているとき、{b_n}を{a_n}の部分列という。」って、順番が入れ替わっててもいいのかどうか分からない……

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

部分列に番号を振り直そうと思うと、無限個かもしれないMから最小値を逐次選ばないといけないが、これは確か問題なかったはず。1から順番にMの要素かどうか判定していけばいい。あの公理とか無縁の話……ですよね……

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

wakabame.hatenablog.com/entry/2017/08/… 自分用のメモ： (1)部分列は「もとの数列からいくつかの項を間引いて出来る数列」であり、順番を入れ替えてはならない。つまりρ(i)は単調増加でなければならない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

数列の部分列って、たまたま値の等しい別の項を取り出したら見分けがつかなくなるけど、これらを区別しないと議論が凄く面倒になるよね。部分列の実体は値の列ではなくて、添え字の列だと思った方がいいんじゃないかな。

proper_TAJIRI @proper_TAJIRI

@y_bonten 私も数列の議論ではそういうのが嫌だったので、いつも数列はωの始切片を定義域とする関数であると見なしています。部分列を議論する際は、添字列を与える関数を用意しておいて、〈f_g(i) : i < ω〉のようにしています。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@proper_TAJIRI なるほど、添字列への関数を間にカマせば、いつでも合成写像で部分列が得られますもんね。「部分列であること」は「この関数が狭義単調増加であること」と言い換えられますね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

増加部分列のことばかり考えてたので値に目が行きがちだけど、「部分列になってるかどうか」の判定は、値が完全に伏せられてても、添字さえ分かってれば可能。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

点列が「αに収束する部分列を持つ」とき、点列の途中のどこから見始めても（先頭から有限個をどんなに長く削られても）、αにいくらでも近い点が残っている。こう表現するとコンパクト性との繋がりが少し見えるかな。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「数列がαに収束する」と「数列が『αに収束する部分列』を持つ」との関係って、論理式で書くと、すっごい微妙に中途半端な2箇所に否定（￢）をつけた関係になりません？

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「a_nがαに収束する」 ∀ε＞0∃k∈N∀n∈N[n＞N→|a_n-α|＜ε] の∃k∈Nの直前に否定をつけると ∀ε＞0∀k∈N∃n∈N[n＞N∧|a_n-α|≧ε] になって、さらに「≧」を「＜」に変えると「a_nは『αに収束する部分列』を持つ」と同値になりますよね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

後者は「αに収束する部分列を持つ」より弱いのかな……εごとに違う選び方をして収めることができても、収束部分列とは言えないか

i.e.@あいいー @IE50_test

@y_bonten はじめまして こちらのツイートですが a_n(k+1)を帰納的に、a_n(k)より番号が後のもので|a_n(k+1)-α|<1/(k+1)となるようにとればαに収束する部分列(a_n(k))が取れるかと

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@IE50_test はじめまして、 ありがとうございます。なるほど、部分列を作りながらどんどんεを厳しくして、そのつど次の項を見つけてくればいいわけですね。ということは、やはりこの論理式で「αに収束する部分列を持つ」を特徴づけていることになりますね。@y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

数列が「αに収束する」ことと「任意の部分列がαにいくらでも近い項を有す」こととも同値だったのか

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

数列がαに収束しなかったら、「αからε以上離れた項がなんぼでも後ろに残ってる」という正数εがとれるから、ε以上離れた項だけで部分列が作れるからね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

数列が「αに収束する部分列を持つ」と、「任意のε＞0に対して、αからε未満に収まる項が無限にある」とも同値っぽいな。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

やっと悟った。おおもとの数列a_nと、項についての性質φを固定して考える。「a_nの任意の部分列が、φを満たす項を持つ」と、「（同）を無限個持つ」とは同値なのだ。後者を否定して、φな項が有限個しかない部分列をとると、最後のφな項まで削ったものも部分列なので前者に反する。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「徹底入門、部分列」の一週間であった。さすがにもう、恐怖心はない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

部分列のみならず、数列のεN論法も、要するに「ある条件を満たす項が無限個ある、ない」というのを一階述語論理でなんとかかんとか書き下してるだけなんだな。「条件φを満たす項が無限個ある」⇔「φを満たす項のみからなる部分列がとれる」

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

与えられた数列a_nと実数αおよび正数εに対して、「αからε以上離れた項が有限個しかない」と「αからε未満に収まる項が無限個ある」とは、うっかり同値かと思ってしまうが、前者のほうが強い。無限個の補集合も無限個かもしれないからだ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

両者の頭に「∀ε＞0」をつけると、前者は「a_nはαに収束する」、後者は「a_nはαに収束する部分列を持つ」となる。私が感じた「すごく微妙な関係」は、このように表現することもできる。