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関西すうがく徒のつどい
@kansaimath
例えば, Kan拡張には以下のような各点Kan拡張が存在するので, 具体的に計算できる! [定理] F : C → D, E : C → U とする. ∀d ∈ D, colim(F↓d → C → U) が存在するとする. このとき, F†Eは存在して F†E(d) ≅ colim(F↓d → C → U) #kantomath #kantomath4
2019-03-30 17:22:08
Oddie
@math_elliptic
#kantomath #kantomath4 定理（各点Kan拡張）： F:C→D,E:C→U ∀d∈D, colim(F↓d→C→U)が存在するとする このときF^†Eは存在して F^†E(d)は上のcolimと同型
2019-03-30 17:23:14
関西すうがく徒のつどい
@kansaimath
[定理] 左随伴は余極限と交換する。 i. e. T : J → C で, <colim T, μ> が存在するとする. F: C → D, G : D → C, F⊣G とする. このとき<F(colim T), Fμ>が FT : J → D の余極限になっている. #kantomath #kantomath4
2019-03-30 17:29:55
Oddie
@math_elliptic
#kantomath #kantomath4 つまり T:J→Cのcolimが存在し、 F:D→C, G:C→D, F-|Gのとき F(colim T)とcolim (FT)は同型
2019-03-30 17:31:33
関西すうがく徒のつどい
@kansaimath
[問] Fが余極限と交換する ⇒∃G, F⊣G は言える？ [答] 一般にはNo. しかし, ある程度の条件があればOK. Freydの「一般随伴関手定理(GAFT)」. #kantomath #kantomath4
2019-03-30 17:32:29
y.
@waidotto
Q.余極限と交換するなら左随伴だろうか？ A.一般にはNo．しかしある程度の条件があればOK(Freydの一般随伴関手定理; GAFT) #kantomath4
2019-03-30 17:32:37
関西すうがく徒のつどい
@kansaimath
続きはWEBで！ alg-d.com/math/kan_exten… #kantomath #kantomath4
2019-03-30 17:35:44
Oddie
@math_elliptic
#kantomath #kantomath4 問：Fが余極限と交換するなら右随伴を持つか？ ⇒一般には無理、 ある程度の条件で言える （Freydの一般随伴関手定理） 証明はCWMにもあるがいくつか謎が残る ⇒alg-d.comを読めばKan拡張でその謎が解き明かされてる
2019-03-30 17:36:23