与えられた半順序集合を実現する位相についてのレクチャー

oto @oto_oto_oto

位相空間の開集合全体と包含で半順序集合ができる。逆に、半順序集合が与えられたときそれが開集合と包含の半順序集合と同型になるように位相空間を構成できるだろうか。構成できなくても存在、不存在を判定できるだろうか。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@oto_oto_oto そんなものを考えて嬉しい理由が分からないけど、開集合の作る半順序は、空間全体と空集合を最大元/最小元に持つので、一般にはそんなものは構成できないんじゃ？必要十分条件は、なんかありそうですが

oto @oto_oto_oto

.@maophilia 一般には無理ですよね。層絡みで、順序構造だけが先に出来てしまうことがあって、そこから点を復元できるかどうかが条件になるんじゃないかと思ってるんです。

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@oto_oto_oto @maophilia つ Topology via Logic

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia 半順序集合Aがフレームでかつ、∀a,b∈A. a≠b ⇒ ∃f∈Frame(A, 2={⊥, ⊤}). f(a)≠f(b) が成り立つのが、必要十分条件だと思う。

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia ここでフレームは、任意個のjoinと、有限個のmeetを持ち、meetがjoinに対して分配するような半順序集合。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

フレーム=分配束かな？

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia フレームAを「開集合系」、Frame(A, 2) を点集合、f(a)=⊤ を f∈a と思うと、localeという位相空間もどきになる。

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia 先程の条件は、フレームの要素をそうして「開集合」とみなしたときに、外延的になっているという条件。その場合、そのlocaleは位相空間と同型になる。

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia ありゃ。十分条件だとは思うけど、必要条件ではないかも。localeと同型な位相空間(sober space)以外も考える必要がある？

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@masahiro_sakai @oto_oto_oto @maophilia いや、やっぱり必要十分条件か。位相空間のsober化は開集合系のなすフレームを変えないから、soberな空間だけ考えても一般性は失われない。