@genkuroki先生の数学クイズ

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数クイズ】 http://bit.ly/lpqtIF の再掲。 中学校の元校長先生の友人から教わった問題。142857を 2,3,4,... 倍すると 285714, 428571, 571428, 857142, ... となる。これはなぜか？142857の数字の由来は？

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

GL_N の量子化の場合に、W=S_N の作用をM作用素を使って M→G_iMG_i^{-1} と書くことは前からできていた。 M=ZDZ^{-1} の Z (tau函数を含む) への作用を Z→G_iZs_i と書くのもできた。非可換環の代数自己同型になっているところが非自明。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

@silfied 1/ζ(2) = 6/π^2 = 0.607927... (証明はググればわかります。 Euler-Riemann のゼータ函数の整数値が出て来るところが面白いのだ。p進整数環 Z_p とその上の Haar 測度の話も知っているとさらに楽しめる。)

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

@silfied 二つの自然数の少なくともどちらかが奇数である確率は3/4、少なくともどちらかが3で割り切れない確率は8/9、…。素数全部についてかけて、(3/4)×(8/9)×(24/25)×…=1/ζ(2)=6/π^2 が互いに素になる確率であることがわかります。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数クイズの訂正】 http://bit.ly/kbietC http://bit.ly/j7y4rI の問題文の中の数列から5倍の714285が抜けていた。【142857クイズのヒント】588235294117647を同様に2,3,4,…倍すると？この数の由来は？

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

ぼくは素因数分解などの計算をしたいときにはMaximaを使っています。桁数を指定した浮動小数点計算もできます。 http://bit.ly/mUzIRE

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

@ksugimori さんが1を7で割る筆算をしたのはとても素晴らしいです。巡回節を計算すると余りの部分にちょうど1から6までの数が全部出て来る。自分の手で計算した人だけが味わえる快感です。数年前のオープンキャンパスでは1を17や19で割る筆算をやった高校生がいました！

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

142857クイズの話の続き。実は「数学を研究しています」と言っても納得してもらえることはほとんどないです。数学の世界にはまだ見付けられていない不思議な法則がまだ残っていることをどうすれば納得してもらえるのか。実は算数で理解できる範囲にも不思議な話がいっぱいあります。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】pは11以上の素数とし、1/pを小数点以下p桁以上計算してみる。(1)巡回節の長さはp-1の約数である。(2)小数点以下(p-1)/2+1桁目の数は0または9である。(3)pを40で割った余りを計算するだけで(p-1)/2+1桁目が何になるかが判別できる。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】つづき。(3)を確認するのは結構大変です。たとえば400~500以下のすべてのすべての素数pについて1/pを計算してみて、(p-1)/2+1桁目の数（0または9になる）の表をpを40で割った余りで分類した表を作れば一目瞭然です。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】定理：pを11以上の素数とし、1/pの小数展開の(p-1)/2+1桁目をaとする。(1)aは0または9になる。(2)pを40で割った余りが1,3,9,13,27,31,37,39のときaは0になり、7,11,17,19,21,23,29,33のときaは9になる。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】なぜか素数pを40で割った余りで1/pの小数点以下第(p-1)/2+1桁目が何になるかがコントロールされてしまっている。これはかなり不思議なことです。実はこれはガウスが証明した平方剰余の相互法則から出て来る結果です。整数論の世界にようこそ。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】つづき。だから証明は大学数学科レベルの問題になってしまいます。しかし最初は証明など気にせずに、様々な計算を通して「そこに非自明な不思議な法則が存在する！」ってことを納得できることが大事なんだと思います。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】「2,5以外の素数pに対する1/pの小数展開の巡回節がp-1の約数になる」という結果はフェルマーの小定理 http://bit.ly/kaIqL4 の簡単な帰結です。2,5以外の素数pと10は互いに素なので10^{p-1}をpで割った余りは必ず1になります。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数実験】フェルマーの小定理(応用→1/pの巡回節の長さがp-1の約数になるという話)は十分非自明な結果です。しかし、平方剰余の相互法則(応用→1/pの小数点以下第(p-1)/2+1桁目がpを40で割った余りで決まる話)はそれよりもずっと深い結果です。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

http://bit.ly/irS3bP のつづき。アダマール著『数学における発明の心理』はどういう本か？この本は「概念は言語を通すよりほかに認知されることなく、言語のみによって存在する」のような貧しい考え方を徹底的にdisるために書かれたと考えるとわかりやすいかも。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【算数クイズ】99999のように9だけを並べた数で17で割り切れるものが存在することを示せ。数年前オープンキャンパスで出した問題。【解き方】右端に9をひとつずつ追加しながら17で割る筆算を割り切れるまで続ける。割り切れたときに途中で出て来る余りに法則性が！気付けば感動できる。

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

【数学クイズ】2と5以外の任意の素数pに対して99999のように9だけを並べた数の中にpで割り切れるものが存在することを示せ。【実験】Maximaなどの数式処理ソフトで99999のような数を素因数分解して遊んでみる。【ヒント】フェルマーの小定理。数学科で試験問題に出してもいいかも

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

@takuchijuku 3,7,11,13 のそれぞれによって9,999999,99,999999は割り切れます。それじゃあ17,19,23,29,…(無限に続く)のそれぞれに対してそれで割り切れる9だけを並べた数が存在することを示せという問題です。