たった１０ツイートでわかる線形代数・行列論 (大学1年の夏学期用・要点まとめ) 大学数学を速習！

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#たった10ツイートでわかる線形代数 大学1年の夏学期「線形代数・行列論」 10ツイで速習しますぞ! (1/10) Q. 掃き出し法で (1) 連立1次方程式 Ax＝b を解け (2) Aの逆行列を求めよ A. (1) 拡大係数行列 { A | b } を 基本変形で { E | b' } に (2) { A | E } を基本変形で { E | A' } に

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#たった10ツイートでわかる線形代数 (2/10) Q. 行列の階数 (1) 定義 (2) Ax＝b が唯一解を持ち,Aの逆行列が存在する必要十分条件 (3) Ax＝b が解を持つ必要十分条件 A. (1) 基本変形して全行が0でない行の階段の段数。 １次独立なベクトルの本数 (2) rank(A)＝n (3) rank({A|b})＝rank(A)

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#たった10ツイートでわかる線形代数 3/10 Q. 行列式 |A|=detA 1) 意味 2) |A|≠0時のAx=b 3) |A|=0時のAx=0 A. 1) 逆行列や非自明解の存在判別式。 n本のベクトルが張る立体の体積 2) |A|≠0 ⇔逆行列A^(-1) が存在(Aは正則) ⇔Ax＝bは唯一解を持つ 3) |A|＝0 ⇔Ax＝0は非自明解x≠0を持つ

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#たった10ツイートでわかる線形代数 4/10 Q. 行列式の計算方法 (1) 2次 (2) 3次 (3) 4次以上 A. (1) ad-bc (2) サラスの方法で計算練習を繰り返せ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5… (3) ある行か列に注目して余因子展開し １つサイズの小さな行列式で表せ ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99… pic.twitter.com/er9jLKye5Z

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#たった10ツイートでわかる線形代数 5/10 Q. 小行列式と余因子の定義 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F… (i, j)小行列式 M_{i,j} i行とj列を除去した結果の部分行列の行列式。 余因子の計算に使う (i, j)余因子 小行列式に適切な符号をつけたもの C_{i,j}＝(-1)^(i＋j) M_{i,j} 余因子展開に使う

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#たった10ツイートでわかる線形代数 6/10 Q. (1) 余因子行列の定義 (2) 「逆行列を求める公式」 A. (1) 正方行列Aの 全ての余因子(cofactor) C_{i,j} を並べた行列Cが Aの余因子行列(matrix of cofactors) (2) 余因子行列を転置して 行列式で割ると 逆行列になる。 A^(-1)＝C^T / |A|

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#たった10ツイートでわかる線形代数 7/10 Q. クラメルの公式で Ax＝b の解を明示せよ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 行列Aの第 i 列を ベクトルbで置き換えた行列をA_iとおくと 解ベクトル x の第 i 成分は x_i ＝ |A_i| / |A| ※逆行列を求める際，掃き出し法のほうが計算量が少ない。

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#たった10ツイートでわかる線形代数 8/10 Q. 正方行列Aの 1) 特性多項式 2) 固有方程式 3) 固有値λと固有ベクトルx A. 1) 未知変数λとして |A－λE| 2) |A－λE|＝0 ※(λに関する多項式)＝0の形 3) Ax＝λx ⇔(A－λE)x＝0 ⇔|A－λE|＝0 解いてλを得る。 Ax＝λxにλを代入してxを得る。

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#たった10ツイートでわかる線形代数 9/10 Q. 行列Aを対角化せよ。 ※Aの固有値と固有ベクトルは相異なるとする A. Aの固有値と固有ベクトルを計算し 相異なる固有値 λ_1, λ_2, λ_3, … 相異なる固有ベクトル α_1, α_2, α_3, … を得たとする。 下図の計算により対角行列を得る。 pic.twitter.com/735SrSG88m

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#たった10ツイートでわかる線形代数 10/10 Q. 固有値問題や対角化の意義とは。 A. 固有値問題： ・量子論や物理学で頻繁に現れる。 ・対角化に必要。 対角化できれば： ・行列のn乗を楽に計算できる。 ・連立微分方程式や連立漸化式を解ける。 ・二次曲線を把握しやすくなる。

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以上の１０ツイートで， 大学１年生の夏学期の線形代数・行列論 要点，骨子を概観できましたな！ ここで紹介した骨子を基にして 具体的な計算例を解きまくる。 そして，各人が受講している講義内容に応じ 派生する細部の概念をおさえてゆけばよい。 木の幹と枝葉の関係になると思いますぞ！

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具体的な計算練習を載せているページ ▶掃き出し法で連立一次方程式を解く ・w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/… ・senkei.nomaki.jp/gaussian_elimi… ・geisya.or.jp/~mwm48961/elec… ・ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… 掃き出し法で逆行列を求める ・linear-algebra.com/entry/eliminat…

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▶サラスの方法で行列式を求める ・ramenhuhu.com/math-sarrus ・domeblog.net/sarrusdetermin… ▶余因子展開で行列式を求める ・linky-juku.com/cofactor/ ・linear-algebra.com/entry/cofactor… ▶余因子行列で逆行列を求める ・ai-trend.jp/basic-study/li… ・linky-juku.com/cofactor-matri… .

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▶固有値問題を解く ・linky-juku.com/eigenvalue-pro… ・geisya.or.jp/~mwm48961/line… ▶対角化する geisya.or.jp/~mwm48961/line… ▶行列のn乗を求める geisya.or.jp/~mwm48961/kou3… .

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▶対角化で二次形式の標準形を求める linky-juku.com/quadratic-form/ ▶対角化で連立漸化式を解く blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/ar… ▶対角化で連立微分方程式を解く dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7… . 計算練習は以上ですぞ！ 具体的な３次～４次行列でガンガン計算することが，上達のかぎですな