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きいねく
@Keyneqq
「1枚のコインを入れると可算無限枚のコインをゲットできるスロットマシンをℵ_1回プレイしようとしても，その前にコインが尽きてしまう」という例が直観に反しすぎてて面白い （参考：寺澤順「現代集合論の探検」第6章演習問題）
2020-10-26 20:01:12
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
無限スロットマシーン、私もいまだに納得できていない。設定のどこかに直観に反することの理由があるはずなんだけど、何なんだろうか。 twitter.com/keyneqq/status…
2020-10-27 14:28:48
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
【無限スロットマシーンのパラドクス】 無限世界の住人が、所持金100円でスロットゲームを始める。1回につき1枚の100円玉をスロットマシーンに入れると、そのたびに可算無限（ℵ_0）枚の100円玉が出て来る。このゲームを ℵ_1（＝ω_1）回続けようとする。しかし、彼は ℵ_1 回続ける前に twitter.com/Taroupho/statu…
2020-10-27 14:52:23
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
全財産をすってしまい、一文無しになってしまう。このことを示せ。 【証明】 ℵ_1 回続けられると仮定する。κ∈ℵ_1 について、κ 回目の試行で投入される100円玉が λ 回目で得られたものであるとき、f(κ) := λ∈ℵ_1 として、写像 f: ℵ_1→ℵ_1 を定義する。
2020-10-27 14:58:08
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
f(κ)＜κ が任意の κ＜ℵ_1 について成り立って、f は退行的。ℵ_1 は非可算正則基数であり、ℵ_1 自身が定常集合でもあるので、フォドアの補題が使える。そこで、定常集合 S⊆ℵ_1 が取れて、f は S 上で定値関数（f＝γ∈ℵ_1）となる。
2020-10-27 15:06:20
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
従って、S の分の100円玉はすべて γ 回目で得られたものであるはずだが、γ 回目には ℵ_0 枚しか出て来ず、|S|＝ℵ_1 なので矛盾。□ 【参考】フォドアの補題 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…
2020-10-27 15:08:35
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
ℵ_1 は非可算正則基数で、非可算正則基数についてなら ℵ_1 でなくても同様のことが成り立つ。正則基数というのは共終数が自分自身、つまり下からではあまり届かない基数のことである。非可算正則基数は、なかなか奇妙なふるまいをする。逆に、特異基数ならこんなことは起こらない。
2020-10-27 15:24:08
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
ℵ_ω は最小の特異基数だが、n 回目の試行で ℵ_n 枚の100円玉が出て来るとするなら、たった ω 回やった時点で (まだ報酬の ℵ_ω 枚を得る前の状態でも)、すでに100円玉が ℵ_ω 枚溜まっている (それまで一度も ℵ_ω 枚以上の100円玉は出て来ていないのに！)。
2020-10-27 15:25:57
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
しかし、無限スロットマシーン問題が言いたいことは要するに、ℵ_1 回ゲームを続けられるためには ℵ_1 枚の100円玉が要る。けれども ℵ_1 より前にある順序数はすべて可算で、可算無限の可算和はやはり可算にしかならないから、ℵ_1 回より前の試行ではいつまでも ℵ_1 枚には届かない、
2020-10-27 15:28:07
谷口一平 A.k.a.hani-an
@Taroupho
よってどこかでお金が足りなくなるはずだ、ということだ。奇妙なのは、1回目の試行ですでに ℵ_0 枚の100円玉を手に入れており、次に1枚使うとしても ℵ_0 枚残るから、どこにもお金が減るフェイズがない、という点である。お金が減らないのに全財産をすれるというのは、いかにもパラドクスに見える。
2020-10-27 15:28:45
p進大好きbot
@non_archimedean
@Keyneqq 文字通り読むとコインは尽きないと思うのですが、どういう言外の仮定があるのでしょうか？（1枚のコインを入れると1枚のコインが出るマシンは何回でもプレイできますが、可算無限枚のコインに番号付けをすると1枚選べるので、1枚コインが出るゲームを内包しますよね）
2020-10-27 21:45:57
きいねく
@Keyneqq
@non_archimedean 「 0<n 回目に投入するコインはそれ以前（m回目, m<n）に獲得したコインである」という仮定があると思います．
2020-10-27 22:18:13
きいねく
@Keyneqq
@non_archimedean 仮に初期の所持コイン1枚で，コイン1枚出てくるマシンをω_1回プレイできたとすると，ω 回目に投入するコインは，ある n 回目 (n<ω) に獲得しているはずですが，これは n+1 回目で使ってるはずなので矛盾，という論法になると思います．
2020-10-27 22:19:07