グレブナー基底を使うと「複雑な分母を有理化」できる！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

たぶん入試に出ない分母の有理化 pic.twitter.com/id1Lv9eG6e

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グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

ちなみにこれはグレブナー基底を使って計算しましたぶな。 wolframalpha.com/input/?i=Groeb…

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

x=√2、y=√3、z=√5、w=√7、t=1/(√2+√3+√5+√7) とすると、 x^2-2=0 y^2-3=0 z^2-5=0 w^2-7=0 (x+y+z+w)t-1=0 という連立方程式が立ちますぶな。ここから、t=(x,y,z,wの多項式)という方程式を出せれば分母の有理化ができますぶな。グレブナー基底を使うと求める式が計算できますぶな。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

２つ前のツイートのリンクでは、WolframAlpha でグレブナー基底を計算していますぶな。その出力結果を見ると、 215t-135w-185x+145y+50wxy+133z+34wxz-22wyz-62xyz という式だ出ていて、ここから、 t=(135w+185x-145y-50wxy-133z-34wxz+22wyz+62xyz)/215 と、tをx,y,z,wの多項式で表せましたぶな。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

この式に、x=√2、y=√3、z=√5、w=√7、t=1/(√2+√3+√5+√7)を代入すると、 1/(√2+√3+√5+√7) =(135√7+185√2-145√3-50√7√2√3-133√5-34√7√2√5+22√7√3√5+62√2√3√5)/215 =1/215(185√2-145√3-133√5+135√7+62√30-50√42-34√70+22√105) となり最初の画像の式が出てきますぶな

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

この分母の有理化の話は、去年の冬コミの合同誌に掲載された「妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。グレブナー基底と聖母」にもありますぶな 下記の通販サイトで購入できるので興味のある方はぜひお求めくださいぶな！ Enjoy Mathematics! | next-nexus booth.pm/ja/items/11574… #booth_pm

スネちゃま @ilovegalois

@groebner_basis 質問いいでしょうか？最初の問題では全部正の平方根ですが、方程式に直したときのx^2-2=0などだと負の平方根も入ってしまうと思うのですが、正のほうを選ぶにはどうしたらいいのでしょうか？

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

@ilovegalois 選ぶ必要は実はありませんぶな。t=(135w+185x-145y-50wxy-133z-34wxz+22wyz+62xyz)/215 という式には、仮に x=√2、y=-√3、z=-√5、w=√7、t=1/(√2-√3-√5+√7) という式を代入しても成立していますぶな。つまりこれは 2×2×2×2=16 パターン全ての分母の有理化の式を求めていますぶな。

スネちゃま @ilovegalois

@groebner_basis なるほど！実際には方程式を解いてから代入してるんじゃなくて多項式で簡約して次数を下げていってるだけだから、始めにxを√2で選んでれば１次の部分は最後まで√2のまま残るってことですかね？スッキリです😣

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

@ilovegalois 分かりやすくする都合上、連立方程式という言葉を使いましたが、正確にはイデアルという言葉を使った方がいいですぶな。多分ご理解は合ってると思いますぶな。別の言い方をすると、剰余環 Q[x,y,z,w]/<x^2-2,y^2-3,z^2-5,w^2-7>上の x+y+z+wの逆元をグレブナー基底で求めていることになりますぶな。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

採点官「この問題の答えは、1/(√2+√3+√5+√7) か……さてこの答案は合ってるかな？」 試験中の受験生「答えは 1/(√2+√3+√5+√7) やな。せや、分母の有理化しとこ！」 採点官「ふぁっ！！！！？？？」 pic.twitter.com/XZvRuc4VqK

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グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

ちなみにこれはグレブナー基底を使って計算しましたぶな。 wolframalpha.com/input/?i=Groeb…

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

x=√2、y=√3、z=√5、w=√7、t=1/(√2+√3+√5+√7) とすると、 x^2-2=0 y^2-3=0 z^2-5=0 w^2-7=0 (x+y+z+w)t-1=0 という連立方程式が立ちますぶな。ここから、t=(x,y,z,wの多項式)という方程式を出せれば分母の有理化ができますぶな。グレブナー基底を使うと求める式が計算できますぶな。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

２つ前のツイートのリンクでは、WolframAlpha でグレブナー基底を計算していますぶな。その出力結果を見ると、 215t-135w-185x+145y+50wxy+133z+34wxz-22wyz-62xyz という式だ出ていて、ここから、 t=(135w+185x-145y-50wxy-133z-34wxz+22wyz+62xyz)/215 と、tをx,y,z,wの多項式で表せましたぶな。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

この式に、x=√2、y=√3、z=√5、w=√7、t=1/(√2+√3+√5+√7)を代入すると、 1/(√2+√3+√5+√7) =(135√7+185√2-145√3-50√7√2√3-133√5-34√7√2√5+22√7√3√5+62√2√3√5)/215 =1/215(185√2-145√3-133√5+135√7+62√30-50√42-34√70+22√105) となり最初の画像の式が出てきますぶな

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

「分母の有理化」は「ゼロから学ぶグレブナー基底（入門編）」でも解説する予定なので、ぜひ聴きに来てくださいぶなねっ！！ groebner-basis.peatix.com

a @minashigo3310

@groebner_basis 一致することを確認しました。 グラブナー基底ってすごいですね！ こんな長い計算を簡略化できるなんて。 pic.twitter.com/KQSDtKgbPM

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a @minashigo3310

@groebner_basis グレブナーでしたすみません。

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

@minashigo3310 ぶなぶな〜 実際はグレブナー基底も大変な計算をコンピュータでやっているのですが、連立方程式や分母の有理化など色々な計算を統一的な手法で扱えるのがグレブナー基底のすごいところぶな〜

𝑅𝑒:𝑜𝑛(りころん) @Reon_tymer

グレブナー基底、有理化にも応用できるのか！？ もはや尊い…

まぐ @luigi_0829_2

新共通テスト、マジで「グレブナー基底と連立方程式で1/(√2+√3+√5+√7)有理化しとくンゴww」みたいな解答もちゃんと正答にする必要があるのめんどくさすぎて笑う

Haru🐈 @nyan_haru_nya

有理化といえばグレブナー基底