(倉庫) 山田への数学

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 3つの数列がある。 a(n+1) = 4 b(n) + 5 c(n) b(n+1) = - 2 a(n) + 3 b(n) + 2 c(n) c(n+1) = 2 b(n) + 4 c(n) 行列のn乗を使って，これら3つの数列の一般項を求めよう。 具体的には下記の手順で行う。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) 問19と異なり，今回の行列 M ＝ { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } } は対角化できない事をWolfram Alphaで確認せよ。 「 { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } } の対角化」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 「対角化不可能」と出力される。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) なぜMは対角化できないのか，固有多項式(特性多項式)および固有方程式という語を使って計算して説明せよ。 Mの固有値も求めること。 固有多項式(特性多項式) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) (2)をWolfram Alphaで確かめよ。 「 { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } } の固有多項式」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 固有方程式を求めるには 「 { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } }の固有多項式 = 0 」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) 行列を対角化できない場合，かわりに「ジョルダン標準形」を求めればよいという定石がある。 ・対角行列とは，対角成分のみが非ゼロのスカラー値であるような行列のこと。 ・ジョルダン標準形とは，対角成分としてジョルダン細胞をもち，ほかの値が0であるような行列のこと。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ジョルダン標準形 / 行列 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8… Wolframは，行列を入力するだけで ただちにその行列のジョルダン標準形を求めてくれる。 { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } } ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ジョルダン標準形を求めたい旨を明記する場合は，JordanDecompositionコマンドを使う。 JordanDecomposition[{{0, 4, 5}, {-2, 3, 2}, {0, 2, 4}}] ja.wolframalpha.com/input?i=Jordan… この結果，もとの行列Mが M = S J S^(-1) の形に分解される。Jはジョルダンブロックが並ぶジョルダン標準形である。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS このことを上記の JordanDecomposition コマンドで確認せよ。 (5) (4)で得られたジョルダン分解のS行列 { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } から，その逆行列をInverseコマンドで求めよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS Inverse[ { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } ] ja.wolframalpha.com/input?i=Invers… → {{2, -3, -7/2}, {2, -2, -3}, {-2, 3, 4}} となる事を確かめよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (6) (5) をもとに S S^(-1) を計算し，その出力結果が単位行列となることを確かめよ。 { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } . Inverse[ { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } ] ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (7) (5) をもとに S J S^(-1) を計算し，その出力結果がMと一致することを確かめよ。 { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } . { { 2, 1, 0 }, { 0, 2, 0 }, { 0, 0, 3 } } . Inverse[ { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } ] ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { { 2, 1, 0 }, { 0, 2, 0 }, { 0, 0, 3 } }のn乗 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力結果が，J行列内でジョルダン細胞ごとにn乗した形になる事を確認せよ。なぜそうなるのだろうか。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (10) (9)でJのn乗が求まったので，(6)とあわせてMのn乗も求められることになり Mのジョルダン分解 M = S J S^(-1) より， M^n ＝ S J^n S^(-1) である事を示せ。 (11) (10)の結果を使って M^n を求めよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS S = { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } J = { { 2, 1, 0 }, { 0, 2, 0 }, { 0, 0, 3 } } より，S J^n S^(-1) を求めるコマンドは…

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } .  { { 2, 1, 0 }, { 0, 2, 0 }, { 0, 0, 3 } }^n . Inverse[ { { 1, 3/2, 2 }, { -2, 1, -1 }, { 2, 0, 2 } } ] ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… これでM^nが求められた。

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS (12) Wolframで，対角化できない行列に対して 「行列のn乗を求めよ」と指示しても，計算が成功する場合と成功しない場合がある。 Wolframのサーバが混雑している時には，計算時間が超過したとの旨で計算結果が出力されない。 逆にサーバが混雑していない時には，対角化できない行列であってもn乗を

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 計算してくれる場合がある。 どちらの結果になるか，下記のリンクから試してみよ。 { { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } } のn乗 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… もし実行時間が超過せず，計算が成功した場合は，その出力結果が(11)と一致することを確認せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (13) (11), (12)の結果を使って，冒頭の3つの数列の一般項を求めよ。 (14) 上記の計算の流れと原理を，固有値と固有ベクトルの観点から説明せよ。 単因子論 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問26の講評 これは東大工学系研究科(平成14年度)の院試過去問に、とても丁寧な誘導を付けて改題したものである。 twitter.com/rwanda_go_tan/…

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たん） @rwanda_go_tan

＜ 理科系の院試組の方へ ＞ 線形代数・行列論の過去問をどうぞ。 下記の数列があります。 a(n+1) = 4 b(n) + 5 c(n) b(n+1) = - 2 a(n) + 3 b(n) + 2 c(n) c(n+1) = 2 b(n) + 4 c(n) 行列のn乗を使って， これら３つの数列の 一般項を求めてください。 （東大・工学系研究科・平成14年度出題）

2019-08-02 00:31:54

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 高校までで習った数列の解法は 理論的根拠が説明されないが、 線形代数を学ぶと、その根拠の部分が解明される。 ちなみに、連立漸化式だけをそのまま書いてもwolframは解いてはくれない。 a[n+1]=4 b[n]+5 c[n], b[n+1]=-2 a[n]+3 b[n]+2 c[n], c[n+1]=2 b[n]+4 c[n] ja.wolframalpha.com/input?i=a%5Bn%… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への数学 問33（今週は解析学） 解析学は，毎日1日中ゴリゴリ手を動かして初めて力が付く。 大学1年生はこれを怠って死亡するパターンが多い。 ということで，手を動かそう。

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) lim{n→∞} Σ{k=1→n} a_k ＝ α のとき， (a)　lim{n→∞} (1/n)・Σ{k=1→n} (n－k＋1)・a_k　を求めよ。 (b)　lim{n→∞} (1/n)・Σ{k=1→n} k・a_k　を求めよ。

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) x∈ℝにおいて，関数項級数 f(x) ＝ Σ{n＝1→∞} (－1)^(n-1) / (x^2 ＋ n) を考える。 (a)　f(x)は一様収束するか？ (b)　f(x)は絶対収束するか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) 三角関数に関し，下記の関数のマクローリン展開を各々導出せよ。 (マクローリン展開できない場合は，かわりにローラン展開を試みよ) なお，計算がどうしても困難と感じたものは保留とし，なぜ困難なのか理由を考察せよ。

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS sin x cos x tan x 1 / sin x ＝ sec x 1 / cos x ＝ cosec x 1 / tan x ＝ cot x sin^{-1} x ＝ Arcsin x cos^{-1} x ＝ Arccos x tan^{-1} x ＝ Arctan x 1 / sin^{-1} x ＝ 1 / Arcsin x 1 / cos^{-1} x ＝ 1 / Arccos x 1 / tan^{-1} x ＝ 1 / Arctan x