(倉庫) 山田への数学

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) 双曲線関数に関し，下記の関数のマクローリン展開を各々導出せよ。 注意点については(3)と同様。 sinh x cosh x tanh x 1 / sinh x ＝ sech x 1 / cosh x ＝ cosech x 1 / tanh x ＝ coth x sinh^{-1} x ＝ arcsinh x cosh^{-1} x ＝ arccosh x tanh^{-1} x ＝ arctanh x

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 1 / sinh^{-1} x ＝ arcsinh x 1 / cosh^{-1} x ＝ arccosh x 1 / tanh^{-1} x ＝ arctanh x

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問33の講評 東大出版「解析演習」のⅠ章「数列と極限」§3「級数，関数項級数と整級数」の… (1)問題3.2を参照。 (2)問題3.13を参照。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) 主なものは手計算で導出できるようにしておこう。 Wolfram Alphaでの検算用： Seriesコマンドのマニュアル reference.wolfram.com/language/ref/S… 検算のサンプル：　Series[ sin x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 全ての検算結果のURLは、下記のリプツリーに整理しておいた。 twitter.com/mathematics_ta…

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三角関数，および双曲線関数のバリエーションについて 級数展開を試みる。 その Wolfram Alpha での検算・確認用リンクを 次ツイ以降に掲載する。 容易に計算できる物もあれば， 難しすぎて手計算では不可能というものもある。 その手ごたえの差を実感，および考察できると良いですね。 twitter.com/mathematics_ta…

2022-04-29 15:15:53

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三角関数，および双曲線関数のバリエーションについて 級数展開を試みる。 その Wolfram Alpha での検算・確認用リンクを 次ツイ以降に掲載する。 容易に計算できる物もあれば， 難しすぎて手計算では不可能というものもある。 その手ごたえの差を実感，および考察できると良いですね。 twitter.com/mathematics_ta…

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@zattanatubuyaki @C4TTUS sin x cos x tan x 1 / sin x ＝ sec x 1 / cos x ＝ cosec x 1 / tan x ＝ cot x sin^{-1} x ＝ Arcsin x cos^{-1} x ＝ Arccos x tan^{-1} x ＝ Arctan x 1 / sin^{-1} x ＝ 1 / Arcsin x 1 / cos^{-1} x ＝ 1 / Arccos x 1 / tan^{-1} x ＝ 1 / Arctan x

2022-04-29 06:30:30

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sin, cos, tan Series[ sin x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ cos x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ tan x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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三角関数の逆数 Series[ 1 / sin x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / cos x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / tan x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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三角関数の逆関数 Series[ Arcsin x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ Arccos x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ Arctan x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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三角関数の逆関数，の逆数 Series[ 1 / Arcsin x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / Arccos x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… ※きつい Series[ 1 / Arctan x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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双曲線関数 Series[ sinh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ cosh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ tanh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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双曲線関数の逆数 Series[ 1 / sinh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / cosh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / tanh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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双曲線関数の逆関数 Series[ Arcsinh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ Arccosh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ Arctanh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… ずいぶんきれいな計算結果に…

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双曲線関数の逆関数，の逆数 Series[ 1 / Arcsinh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… Series[ 1 / Arccosh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… ※きつい Series[ 1 / Arctanh x, { x, 0, 10 } ] wolframalpha.com/input?i=Series… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への数学 問４０（解析学：テイラー展開の剰余項） f(x) ＝ 1 / cos x を 原点周りで x の2次の項まで テイラー展開し， |x|＜√2 の時の 3次のラグランジュ剰余項を 有理式で評価せよ。 具体的には，下記の手順で行なう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) テイラーの定理より f(x) ＝ a_0 ＋ a_1 x ＋ a_2 x^2 ＋ R(x) ＝ f(0) ＋ { f^(1)(0) / 1! } x ＋ { f^(2)(0) / 2! } x^2 ＋ R(x, c) 剰余項 R(x, c) ＝ { f^(3)(c) / 3! } x^3 cは0＜c＜√2を満たすある実数 と書けることを示せ。 (2) f(x)およびR(x, c)を(1)のように書けるための条件は何か。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) f(x)の微分を2階まで計算する事により，a_0, a_1, a_2 を求めよ。 またその計算結果をWolfram Alphaで検算せよ。 1 / cos xのマクローリン展開 ja.wolframalpha.com/input?i=1%2Fco… (4) f^(3)(x) を計算する事により R(x, c) を求めよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (5) sin x と cos x を多項式により不等式評価することで (4)の R(x, c) の評価を与えよ。 (6) (5)の評価が(2)の条件を満たしていることを示せ。 これにより，剰余項をカットした f(x) ≒ a_0 ＋ a_1 x ＋ a_2 x^2 なる二次の多項式近似が良い近似であることを示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (剰余項を不等式で評価する事の目的は，剰余項をカットした式が良い制度の近似を与える事を確認することである。) (7) テイラー展開の剰余項には ・ラグランジュの剰余項　以外にも ・コーシーの剰余項 ・剰余項の積分形表示(ベルヌーイの剰余) があるが，これらの導出方法について調べよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問40の講評 出題内容は， 東大出版「解析演習」(杉浦)　の 第2章「微分法」の§3テイラー展開　の問題3.4に誘導をつけ改題したもの。 テイラー展開の剰余項の明示公式 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS コラム 私が大学入学直後の夏学期の解析学の期末試験で、ある積分の問題に苦しめられた…という件を下記の引用ツイートで述べたことがある。 実は、その時の同じ試験で、問2として出題された問題が、今回の問40の「テイラー展開のラグランジュ剰余項」の評価 であった。 twitter.com/mathematics_ta…

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問12の講評 Aパート(解析学)について: (2)の 1 / (x^4 + 1) の不定積分および(3)については 東大出版「解析入門Ⅰ」(杉浦)p243の解説を参照。 なお、私が大学入学後 一年夏セメ初めての解析学のテストで 第1問目で出題されたのがこの 「∫1 / (x^4 + 1) dx を求めよ」 という問題であった。

2022-04-09 13:47:47

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@zattanatubuyaki @C4TTUS その時に出題されたのは、 ある「解けない難しい積分」を掲載して、 この積分は直接実行することはできないから、かわりに級数展開することにしましょう、そしてその展開打ち切りの誤差をラグランジュ剰余項で評価しなさいよ　というものだった。 テイラー展開の理論的な背景を知らないと、剰余項

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@zattanatubuyaki @C4TTUS と言われてもわからないし、ましてや、その剰余項を多項式とオーダー記号で誤差評価するすべはなおさらわからない。 「大学入りたての一年生に要求される解析学の水準っていうのは、こういうものなのか…」という風に、現実を突きつけられた強烈な洗礼であったことが思い出として残っている。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 7週の #山田への数学 問４７（線形代数：ヴァンデルモンド行列①） 大学1年次で習う線形代数の前半，行列論では 行列式や逆行列の求め方を学ぶ。 しかし，そうして求めた行列式や逆行列が 具体的に何に役立つのかを知らないまま，ただ計算問題をやらされることが多い。 これでは学習の

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@zattanatubuyaki @C4TTUS モチベーションがわきづらいだろう。 そこで，ここでは具体的に 「ヴァンデルモンド行列」と呼ばれるタイプの行列が 数学，物理学，工学など様々な分野で役立つ行列である事を確かめ， その行列式や逆行列を求めてみよう。 n個の数 a_1, a_2, …, a_n がある時，その各々についてn項の等比級数を