更新 2018年10月14日作成 2011年11月23日

球の表面積と Lambert 正積円筒図法

球の表面積が外接する円柱の側面積に等しいことを, Lambert 正積円筒図法を用いて説明したツイートを纏めました.

shz_fsmy
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2010 年 3 月 21 日 - 23 日

とうとう、子どもの質問に答えられない日がやってきました。汗；；「お母さん、どうして4πｒ＾2＝球の表面積なの？納得できないよ。」だれかおしえてーー＞＜；；
http://twitter.com/taki030v/status/10804549990

だよね。本当に表面積が算出できているのかさえ怪しいよねぇ＞＜；；だまされてる気がしてる公式の一つです・・・RT @ichi__: そんなの数学者でも答えられないよ♪RT @030v: 「お母さん、どうして4πｒ＾2＝球の表面積なの？納得できないよ。」だれかおしえてーー＞＜；；
http://twitter.com/taki030v/status/10804753942

ありがとうございます。きた！積分の壁。５年生だけどやらせてみるのもありか・・・・いやいや。。 @LOFTYAIMS_Bros: 円を半分に切ってぐるっと一周積分する。 @ichi__: そんなの数学者でも答えられないよ @030v どうして4πｒ＾2＝球の表面積なの？
http://twitter.com/taki030v/status/10805006326

tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます @tb_lb

ミカンの皮をむくように上下から球の表面をはがすところを想像します。すると、はがした表面が、球をすっぽり包む円柱の側面にびっしり並びます。よって、球の表面積＝円柱の側面積＝2πr×2r＝4πr^2 ……これでどう？ RT @030v: どうして4πｒ^2＝球の表面積なの？

2010-03-21 12:58:43

なるほど！円柱の側面積の出し方に納得できればＯＫって事ですね！？トライしてみます♪RT @tb_lb: ミカンの皮をむくように上下から球の表面をはがすところを想像します・・・RT @030v: どうして4πｒ^2＝球の表面積なの？
http://twitter.com/taki030v/status/10805510196

まず、母が勉強しなおさなければ・・・・・RT @LOFTYAIMS_Bros: 積分っていうと難しいけど、概念くらいは覚えても良いかもｗ
http://twitter.com/taki030v/status/10805536951

私も同じです。当時は数学得意だったので、凹みました。RT @ichi__: 微分積分から数学がわからなくなりました・・・　@030v 4πｒ＾2＝球の表面積なの？
http://twitter.com/taki030v/status/10805589733

２πｒｈでなく2πr×2r・・・なるほど！高さが2rだ！すっきりしました！！ありがとうございます☆RT @tb_lb: 球の表面積＝円柱の側面積＝2πr×2r＝4πr^2 ……これでどう？ RT @030v: どうして4πｒ^2＝球の表面積なの？
http://twitter.com/taki030v/status/10816166993

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

@tb_lb @030v 半径 r の球面の, 北極から赤道を経て南極までの表面に沿う長さは 2r でなく πr ですから, 蜜柑の皮のように表面を剥くと, 高さ 2r の円柱の側面からはみ出しませんか. #math

2010-03-21 20:19:12

tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます @tb_lb

投影も考えたのですが、小5だというので厳密性を切り捨てました。それに、この子が「はみ出し」に気づいたならば、それは「褒め」のチャンスですし。 RT @shz_fsmy: 〔半径rの球を〕蜜柑の皮のように表面を剥くと,高さ2rの円柱の側面からはみ出しませんか. #math

2010-03-22 00:20:31

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

@tb_lb @030v [1/3] 実際には, 北極と南極を結ぶ地軸に蛍光灯を置き, それで地表のサッカー場を照らして, 赤道で接する円柱の側面に投影すると, 面積が等しくなるから, 球面の表面積 = 2πr*2r = 4πr^2 です...... #math

2010-03-21 21:16:26

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

@tb_lb @030v [2/3] ......例えば, 北緯 45 度のサッカー場は地軸に対し 45 度だけ傾いているから, それを真っ直ぐ投影すると面積が 1/√2 倍になりそうですが...... #math

2010-03-21 21:17:49

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

@tb_lb @030v [3/3] ......地軸からの距離は, 北緯 45 度のサッカー場までなら r/√2 だけど, 投影される円柱の側面までは r だから, √2 倍に拡大されて投影され, 打ち消し合います. #math

2010-03-21 21:18:59

ありがとうございますＴ－Ｔアタマから煙が・・・＾＾；。「円柱の側面積＝球の表面積」だと実感できる模型とかあるといいですね。RT @shz_fsmy: @tb_lb @030v [3/3] ......地軸からの距離は, 北緯 45 度のサッカー・・・・・・ #math
http://twitter.com/taki030v/status/10818994826

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

@030v @tb_lb ごめんなさい. [3/3] は「経度方向にだけ √2 倍に拡大されて投影され」の間違いでした. #math まあ, 図を描き, 模型を作って考えましょう.

2010-03-21 21:45:45

理解力は追いついていませんが、数学は嫌いではないので興味津々で読ませていただきました。また読み返してみますね。ありがとうございます♪RT @shz_fsmy: @030v @tb_lb 　#math まあ, 図を描き, 模型を作って考えましょう.
http://twitter.com/taki030v/status/10819211448

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

要するに,「南北方向の緯線が縮小されただけ, (東西方向の) 経線が拡大されて投影される」と書くとよかったかな.

2010-03-21 21:59:13

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

.@030v @tb_lb 出し抜けですが, 先日, 私が下手に説明した "地表から円柱の側面への投影" は, "Lambert 正積円筒図法" のことでした. だから面積が等しい, 云々. 興味があれば調べてください. では. #cartography

2010-03-23 19:29:15

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

[球面の面積 1] 地球儀と, それに赤道で接する円筒を考え, 北緯 θ を含む平面と, 北緯 (θ+Δθ) を含む平面で切ると, 間の輪になった細い帯の面積は, Δθ が十分に小さければ, "だいたい" 同じ. #math

2010-03-23 19:30:42

襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA @shz_fsmy

[球面の面積 2] 実際, 地球儀から切り取った細い帯の幅は, 円筒からの細い帯の幅の約 (1/cosθ) 倍だが, 1 周の長さは約 cosθ 倍. #math

2010-03-23 19:31:37