「無限、ってめちゃいっぱいある」からの全単射: R→R^2

alg-d @alg_d

@safour_1 その交互案をいじれば単射は簡単ですよ。

笹岡 @safour_1

これ単射なのか自信が無いので多分単射でない

@t_yoshiyasu

ささが単射を見つけた模様

笹岡 @safour_1

Rと単位区間とが全単射。そして単位区間の直積と単位区間が全単射（10進展開して交互に挟む）ってことなのかしらね

alg-d @alg_d

やばい頭が混乱してきた。誰か厳密な証明を書いてうｐするんだ。

alg-d @alg_d

というか、今までRって言ってたけど全部(0, 1)で考えてましたね。(どうでもいいけど。)

梵 @bonnou_bonjin

深夜２時の集合論TL

alg-d @alg_d

というか、今までずっと小数展開のアレじゃ駄目だからBernsteinを使ってるんだと思ってたので、大丈夫と言われてもいまいちピンとこない。

笹岡 @safour_1

濃度の話で、対角線論法と、有理数と自然数の全単射と、ベルンシュタインの定理しか知らないと気づいた

alg-d @alg_d

よく分かってないんだけど小数展開のやつは全単射になるの?

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@alg_d ならないと思います。なってしまうと単位区間から単位区間の積への連続な全単射ができて、コンパクト性から同相という妙なことになってしまうような。

alg-d @alg_d

@koizumi_fifty それ連続なんですか。言われてみると連続っぽいですが。

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@alg_d なんだか怪しく思えてきました。

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

やっぱり連続に全射を構成しようと思ったら、可算無限積のときと同じで色々小細工する必要がありそうです。

alg-d @alg_d

やっぱり 1 = 0.9999… あたりの処理で困るような。

あなちゃん @anairetta

むぅ

あなちゃん @anairetta

@alg_d 単射にならないっぽいですね…

でこすけ @dekosuke

みなさんの使っているコンピュータには高々有限個のトランジスタしか入ってないわけですし、無限について考えるのはやめましょう？・・

@ta_shim_at_nhn

R と R^2 ではなく無理数だけで考えると、連分数展開を用いて自然に連続な全単射が得られるというのは、一般にはよく知られているのかな。

(●ｗ●) @flying_Raichu

@ta_shim_at_nhn 詳しく聞きたいです！＞無理数、連分数、全単射

@ta_shim_at_nhn

@qu_at 実数の連分数展開はご存知ですか。これにより、(0,1) 内の無理数と非負整数の無限列とが 1 対 1 に対応するのですが、非負整数の無限列全体の集合を、非負整数に離散位相を入れたものの無限直積と考えると、この対応が位相空間の同相写像になっているのです。

(●ｗ●) @flying_Raichu

@ta_shim_at_nhn (0,1)→N^N の全単射は言えますが、そこから (0,1)→(0,1)^2 みたいなことが言える、という話に繋がるのですか。

@ta_shim_at_nhn

@qu_at N^N の元を奇数番目を取り出したものと偶数番目を取り出したものに分解すれば、N^N の元が 2 個できますが、これが N^N と (N^N)^2 の同相写像を与えています。 同じ理屈で、無理数全体のなす位相空間の可算直積が無理数全体と同相なことも示せます。

(●ｗ●) @flying_Raichu

@ta_shim_at_nhn なるほど。ありがとうございます。