pointless talk
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TuvianNavy
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@TuvianNavy
位相空間のseparation axioms en.wikipedia.org/wiki/Separatio… はKolmogorovの分類が一般に受け入れられているけど、pointless topologyはsober性を基礎にしていて、これはT_0分離公理を満たさないため、
2024-04-28 05:48:14
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@TuvianNavy
（もちろん大きさのない相互に区別可能な点で空間が満たされててもいいのだが、それは我々がある程度大きさのあるものを区別するのに必須の概念的基礎ではない）
2024-04-28 05:51:36
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@TuvianNavy
HaussdorfがT_0を定式化しなかったのは彼の1914年の集合論（位相空間論とはまだ分離されていなかった）の当然の前提に含まれていたから T_0を外しても位相空間はほぼ壊れずに機能することは解っているのだが、
2024-04-28 06:00:29
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@TuvianNavy
点については「大きさのある」というと語弊があるが、代数的には、考えている分解能未満の完備化は必要なく、点は分解能程度の広がりを持っていてよい
2024-04-28 06:11:00
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@TuvianNavy
量子論が正しい場合に特殊相対性理論が最終的に機能しなくなるスケールはPlanck長として知られていて10^-35m 我々の経験する3+1-時空の中でこれより短い長さを考える意味はない
2024-04-28 06:19:26
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@TuvianNavy
この長さでいきなり次元や時間の概念が機能しなくなるわけではなく、短距離になるほど情報の伝達と共有の区別がだんだん意味をなくしていく、ということ
2024-04-28 06:41:32
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@TuvianNavy
実際の計算機はCPUのクロック周波数より短い間隔での実時間を認識できず、その間に起きたことは同時に起きたものとして処理せざるを得ない
2024-04-28 06:44:06
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@TuvianNavy
実際に計算機が認識できる時間分解能は入出力回路に依存してもっと粗大になる（データ転送能力から逆算してはいけない）
2024-04-28 06:48:33
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@TuvianNavy
蛇足。電力消費の観点から現代の一般用途のCPUは負荷が低いとすかさずクロック周波数を下げる作りになっており、つまり計算機の中での「時空」は大きく歪んでいる。なお制御用のCPU（MCU）は用途によるが実時間に近い制御をするものはクロック周波数一定になっている
2024-04-28 06:58:12
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@TuvianNavy
先ほどPlanck長の話をしたが、pointlessという概念は歴史的には特殊相対性理論の3+1-時空と量子論の無限次元の間を数学的につなぐ方法を考えていた際に現れた
2024-04-28 07:30:00
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@TuvianNavy
von Neumannは自らの連続幾何学を「点のない幾何学」と評していたらしい Marshall StoneがStone空間、Stone表現定理、Stone双対を定義したのはそれより少し前になる
2024-04-28 07:33:40
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@TuvianNavy
ただ我々が知っているpointless topologyとcontinuous geometryの間には直接的な関係はなく、pointlessの概念は別ルートで再発見されたと考えるべきだろう
2024-04-28 07:51:43
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@TuvianNavy
関数型プログラミングというか、JavaScriptのメソッドチェーンなどにみられるpoint-free styleのプログラミングもこれに無関係ではないが、その経緯を説明するのは難しい
2024-04-28 07:36:57
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@TuvianNavy
点ではなくそれらの棲む空間を処理対象とするのは、点の分離や融合は個々の点に対する処理ではないからで、空間の次元が変化するような場合には特にそのことが重要
2024-04-28 07:48:56
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@TuvianNavy
次元 dimensionとは？座標引数 coordinate argumentのarity、という解釈はceil(dim)であって、連続値をとる場合には独立基底の個数から出発する必要がある
2024-04-28 08:37:39
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@TuvianNavy
Hasse図を描くとわかるのは次元は空間の束論的構造であることで、ここからStone双対の考え方は近いところにある
2024-04-28 08:42:15
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@TuvianNavy
座標の各次元の値が離散値をとるとして、次元を増やすとはオブジェクトのプロパティ、データベースの表定義の列を増やすようなものである
2024-04-28 08:44:38
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@TuvianNavy
次元が増えるとどういうことができるか？例えば我々の3次元以外に+1か-1をとるsという次元を付け加えると、空間的に配位を同じくする2個の電子を区別することができる
2024-04-28 08:50:23