空間情報の離散化に関する @geo80k さん @_hfu_ さんの対話

YS @sada1110

戦国時代の合戦の布陣、GIS向きなのですが、対応するソフトはまだないようです。The battle of Gettysburgというアプリ、部分的ですが、布陣の移動が可視化されています。桶狭間、長篠、見てみたいですね。

Kozo Kamada @geo80k

@sada1110 桶狭間だと、大高城から鳴海城までの間が今と異なって大幅に海が広かったですから、そういう「古DEM」も用意しなければならず大変ですね。川中島も、今と千曲川の流路が異なりますし。こういうものこそ GeoHex による記号化の出番ではないかと考えます。

Kozo Kamada @geo80k

移動能力、戦闘能力、地形摩擦度、疲労度、兵糧・・・・誤差を覚悟して見積もるのは、結局のところ適当な精度の量子化（離散化）をするのと同じである。すると、幾何学的には連続な平面の上ではなく、離散的な Hex などの上で表現できるようになる。（既知のことがらを言い直したのみ）

Kozo Kamada @geo80k

連続な平面ではなく、Hex で表現するのは、地表の位相を単純化しているに等しい。

Kozo Kamada @geo80k

互いに隣接する３つの Hex の中心を結ぶと、形の良い三角形ができる。これは、多様体の単体（三角形）分割に関する（ほぼ）標準形といえる。私は今まで、GeoHex も GeoHash も計量面からのメリットしか見ていなかったが、GeoHex に限れば位相面のメリットも大きい。

Kozo Kamada @geo80k

当たり前か。 （ ドロネー三角形，ボロノイ分割 ） は（互いに）双対的だ、ということを言い換えただけだもんな。

hfu @_hfu_

@geo80k 離散化によって定義上無誤差で元の位置に戻れるようになる、デジタル処理の根本・本質であり、そのことによって展開できることは多そうなのですが、何年か考えていても切り開くことができていません。 http://t.co/mXwfncZ

hfu @_hfu_

QGIS が若く、新星であったころ、Java は全盛期であったように記憶している。QGIS は脱 Java の申し子であったようにも今は思える。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ もともと空中写真がラスタで、それをベクトル化したものをレンダリングしても、ラスタ間画像の変形でしかないかも。とか。一方、ラスタ画像は、それ自身は２次元多様体への投影でしかない。ベクタは理論上は４次元以上の高次元も可能。（続）

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ 離散化されたラスタ画像では、位相演算はかなり縮退してしまう（いい意味で簡素化される、とも言える）。しかし、連続性が失われることで、収束の概念とか近傍の概念とかは厳密になり得ない。もちろん、無限拡大可能なラスタなら別儀だが、それを変形するのは所要時間も無限大かも。

hfu @_hfu_

私は、GeoHex 上で作成した地図はその世界観のなかで誤差ゼロに有限時間でできることを含意しているように見えるが、それは本当だろうか。意外と、そうかもしれない。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ 或いは、アクセスがあるまで変形しないのかな。Background で変形するのかな。しかし、それでも、次第に background の処理が重くなっていきそう。それをクラウドにさせる？　すると、「永劫」（グレッグ・ベア）の「ストーン」のように、無限空間が必要になる。

hfu @_hfu_

@geo80k ベクトルの座標系をわざと離散的な座標系、たとえば平面直角で整数座標、にするというようなことを考えていたのですが、斜め線を認めると離散世界が崩れる。崩れない世界はまんまラスタモデルだ、よって座標系を離散化しただけでは無意味だ、みたいなことを考えていました。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ このあたりは、ほかの仕事を全て放り出して、１ヶ月とか集中して考えてみないと、あやふやなことしか言えないような気がして、ちょっと忸怩たる思いがある。でも、私はそこまで緻密ではないですし。

soh335 @soh335

@geo80k さんと @_hfu_ さんの会話、面白そうだけど分からなくてつらい。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ GeoHex の良いところは、その気になれば無限に大きなレベルを考えることができること。これって、位相空間の基本近傍系をかなりよく近似できているのではないか、と思ったり（いや、思いつきでしかないけど）。数値計算でいうレベルの収束程度には、幾何学的な収束が扱えそう。

hfu @_hfu_

@geo80k 計測誤差をゼロに出来ない実世界において、収束や近傍の概念を離散の同一、近傍関係で簡素化してしまう、それがデジタル制御理論の妙味であるみたいに理解していたのですが、たぶん私の誤解なのです。JTSというツールが固定精度幾何演算を提供していたのもこの方向の欲の源でした。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ ただし、極付近が扱えないのはいつか問題になる。レベル１を、正20面体のボロノイ分割から始めるのが良いかもしれない、とか思ってみたり。

hfu @_hfu_

@geo80k 離散によって無限を殺す、みたいな都合のよいモデルを立てられないか、などと夢想します。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ 自分も理解は十分ではないけど、離散化は計算時間を有限に納めること以外の目的で使うべきではないように思います。普通の人は、空間を直感的にユークリッドだと思っている（意識していなくても）。すると、連続体の位相を（実装においては）暗黙裏に仮定（近似）しないと破綻する。

hfu @_hfu_

@geo80k そうですね。こういう話はツイートの軽さで発言してしまうと後で後悔することになるように思います。一方で、じっくり時間をつくって考えるという時間はなかなか訪れず、むずかしいです。

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ 「離散によって無限を殺す」は、普通の数値計算でいう「刻みレベルの設定」とほぼ同義だと私は考えています。但し、丸め誤差その他の誤差を（位相でも）定義し取り扱わなければならないでしょう。

Masaki Ito @niyalist

@soh335 完全に同意．だから，もっと話を聞くために勉強会を開くんです．

hfu @_hfu_

@geo80k きちんとした数学を私はあまりマスターできておらず、応用的な数理工学に走ってしまいがちです。制御理論の他に、数値計算の理論も離散で無限を保証付きで殺すことができる理論ですね。時間をみつけて時にこれを習うべきと痛感しました。

hfu @_hfu_

@geo80k 球面を多角形で充填するタイプのタイリングは、こんどはメルカトルの上で美しくないというジレンマがあります。デジタル地球儀で完結するシステムに限り、球面から始めるコードが魅力的になる気がします。