「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」

Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori

はい，実数R上の関数でその注意書きを習いますが，常識的過ぎて何を心配しているのかわからないかもしれません．関数（曲線）の集合のように無限次元だと素直な位相だけでも無限種類あるので，極限の慎重な扱いの理由が身にしみます QT @maisudai 写像と極限をかってに順序交換していた

どら @dorathekid999

@tetshattori １つだけ確認させてください。曲線の分割点のユークリッドノルムの和をとり、さらにsup（分割を動かす）をとったものを長さとする、ということを「sup位相で長さは…」と表現しているのでしょうか？ QT: 去年誰かに sup位相で長さは連続関数にならない旨レス

Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori

いえ， http://t.co/apnRImQ5 の方々が見てる位相は，極限直線をx軸となるよう回転し，折線の高さ（直交する方向のずれ）をf_n(x)としたときのsup_x |f_n(x)|だと思うので，それを QT @dorathekid999 sup位相

どら @dorathekid999

@tetshattori つまり長さの定義は曲線の関数ということだけで具体的に（先ほどの私のつぶやきのように）言及はせず、曲線間の距離をsupノルムで測っている、と。で、supノルムが0になったとしても曲線の関数（長さ）は同じにならない（つまり不連続）という例を問題は示している？

Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori

はい， http://t.co/apnRImQ5 では長さは明確（折線２線分√２）なので，≪位相についての暗黙の仮定の推測明示と，長さ汎関数の連続性の未検証の指摘≫だけで解決方針を示しました QT @dorathekid999 つまり長さの定義は言及はせず

どら @dorathekid999

@tetshattori なるほど、納得しました。ありがとうございます。

青子守歌 @aokomoriuta

.@tetshattori @t_uda 「いたるところ微分不可能な連続曲線」が「無限弧長」と言われると「確かにそうなりそう」ってなるんですが、あの問題みたいに、ずっと長さは一定で増えないのに、無限分割した時に長さが急に無限になると直感的には理解しづらいですね。。

Tomoki UDA @t_uda

@aokomoriuta すいません、誤解させてしまったようです、あの問題というのが例の折れ線のことであれば、B_n も B_∞ (=A) も弧長は有限値で、パラメータについての関数と見るといずれもほとんど至る所微分可能な曲線です。

Tomoki UDA @t_uda

@t_uda @aokomoriuta 補足しておくと、keno さんが指摘しているように B_∞ は普通考える位相では A に収束しますからフラクタルなどではないですし、至る所微分不可能でもないです。至る所微分不可能な曲線の話題はあくまで派生の話題と捉えて頂けばよいかと。

青子守歌 @aokomoriuta

@t_uda ではやはり @keno1728 さんの解説の通り、B-∞とAは一致するという理解で合ってるということで良いのでしょうか？

Tomoki UDA @t_uda

@aokomoriuta はい。普通考えないような変な位相を考えれば B_∞ と A が一致しないこともあり得るのかもしれませんが、そんな位相を考えてもあまり嬉しくないですね…。図形としても連続曲線（関数）としても一致すると考えるのが普通かと。 [※あくまで個人の感想です]

keno @keno1728

@keno1728 @aokomoriuta あの問題は「長さを求めるのに不適当なパラメタ付けを用いている」ことに起因します. 何度か書いている様に「射影による1/\sqrt{2}倍」がキモです. 極限操作によって三角形を潰しているのです.

keno @keno1728

@aokomoriuta 「一致」が何かを明確にとらえた方がよいと思います. AとB_\ifntyは愚直にパラメータ付けた場合, "(パラメタ付けられた)曲線"としては一致しませんが, "像(すなわち集合)"としては一致します. ちゃんとパラメータ付けると前者でも一致します.

青子守歌 @aokomoriuta

@t_uda @keno1728 ということはつまり、曲線（連続関数）の極限(lim x)は同じになると考えられるが、長さを求める写像fのパラメーターが悪くてlim f(x)は一致しないということでしょうか？

青子守歌 @aokomoriuta

@aokomoriuta @t_uda @keno1728 パラメーターが悪いというか、そういうパラメーターで測っている？

keno @keno1728

@aokomoriuta xとfは何ですか?

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 xじゃないですね、kenoさんが定義されていたB_nです。fは「その曲線の長さを求める写像」といったところでしょうか。ちょっと正確な定義付けができないので曖昧な表現になってすいません・・・。

keno @keno1728

@aokomoriuta パラメータとは曲線のパラメータです. 愚直にというのは, 「どれだけの長さを進んだか」というパラメータです. AとB_nはこのパラメータで曲線と見做しています. (続く)

keno @keno1728

@keno1728 @aokomoriuta 一方B_\inftyはB_nのパラメータから定まるパラメータで曲線と思うわけですが, これは「どれだけの長さを進んだか」というパラメータとは一致しません. 然し1/\sqrt{2}倍すると一致します. (続く)

keno @keno1728

@keno1728 @aokomoriuta すなわち強い意味で(パラメータをつけられた曲線として) A = B_\infty となります.

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 パラメーターとはB_n : [0,1] -> R^2と定義された連続写像/曲線の[0,1]の部分（？）を指すと考えていたのですが、違うのでしょうか？

keno @keno1728

@aokomoriuta 定義域もそうですが, 写像B_n自体ですね. 像と区別して. 因みにAは愚直には A : [0,\sqrt{2}/2] -> R^2 です.

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 ふむ。あれ、そうなると、lim sup|B_n - A|=0で一様収束するということですか・・・？