「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」

青子守歌 @aokomoriuta

@aokomoriuta @keno1728 あれ、違いますね。そもそも定義域が違うんで一様収束も何もないですね・・・。

keno @keno1728

@aokomoriuta そもそも定義域が違いますが, B_n を 1/sqrt{2} 倍して B_n : [0, 1/\sqrt{2}] -> R^2 と見做すとAに一様収束します.

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 あ、なるほど。で、件の問題は、||B_n - A||_∞≠0であるが、lim_{n -> ∞} ||B_n - A||_∞ = 0となっていて不連続、という思考で合ってますでしょうか。

青子守歌 @aokomoriuta

||f_n||_∞≠0（つまりf_n≠0）であるがlim_{n→∞} ||f_n||_∞=0となるような関数列・・・？ってあるのだろうか？

keno @keno1728

@aokomoriuta 合ってますが別に重要ではないかと. 1/nは0に収束しますが差の絶対値は1/nで0ではありません. supノルムをご存知であるなら, B_nとAはa.e.で一致していて, 双方連続なので A = B_\infty が出ますね.

keno @keno1728

@aokomoriuta 失敬. B_\inftyとAはa.e.で一致, でした.

青子守歌 @aokomoriuta

写像f_nをx∈[0,1]でf_n(x)=B_n(x)-A(x)と定義して（B_nもAも @keno1728 さんの定義通り http://t.co/QdMg3MnT ）として、そうすると、f_nの上界ノルムは0でないが、上界ノルムのn→∞極限は0となってB_∞とAは一致する？

keno @keno1728

@aokomoriuta そうですね. そしてsup normとessentially supremum normを勘違いしていましたが, この場合はsupでも正しいですね. というかsupで収束していることからa.e.でなく本当に A = B_\infty がすぐ出ますね.

青子守歌 @aokomoriuta

しかし、長さ（を測る写像）Lとした時、lim L(B_n)=√2だが、L(lim B_n)=2となるような位相空間だ、ということで落ち着くのでしょうか。

青子守歌 @aokomoriuta

じゃあなんで、B_nとAが一様収束するような位相では長さが不連続なのか、という問が残る・・・。

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 なるほど。B_∞とAが一致する（一様収束する）というところまでは理解出来たと思います。あとは何故その位相では長さが不連続になるのか、というところが分からないところです。

keno @keno1728

@aokomoriuta 離散的に捉えるから本質が見えにくくなるのでしょう. 連続的に変形することを考えてみては? B_nからB_{n+1}に長さを保ったまま連続的に変形することは可能です. 一方\inftyまでいくときには, 無限個の三角形を潰さないといけません. (続く)

keno @keno1728

@keno1728 @aokomoriuta 一個一個を見ると, これはまさにB_1をAに"連続的に潰して"います. この変形が長さを保たないことは明かでしょう.

青子守歌 @aokomoriuta

@keno1728 そう考えるとこのケースでは確かに収束はしても長さは保っていないのが分かります。で、どんな性質が連続性を妨げてるのかが気になるのですが、「一様収束するから長さは不連続」という一般化はできないのでしょうか？

青子守歌 @aokomoriuta

@aokomoriuta @keno1728 確か、 @tetshattori 先生が一様収束では長さは連続しない、というようなことをおっしゃってた気がします。その辺りの証明（解説？）が分かれば不足していた知識は埋まるのですが。。

keno @keno1728

@aokomoriuta それはまぁ [0,1]x[0,1/n] が2次元だからなんですが...

keno @keno1728

というか@tetshattoriさんが既に答えられているしそっちの方が論理的根拠があっていいですね. @aokomoriuta

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高校生には謎ですか？ RT @tetshattori: √2 = 2（斜面と階段）まとめby＠青子守歌さんのトップ http://t.co/gWSQuRuk が見やすい． @t_uda さんの発展編 http://t.co/Exmm5AEh も注目 QT @aokomoriuta

Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori

高木貞治の解析概論読むおマセさんなら頑張るかも(^^ 高校時代の私には「大学で」と言います～ QT @tsatie 高校生には謎ですか？RT ＠服部 √2 = 2（斜面と階段）by @aokomoriuta さん http://t.co/apnRImQ5

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今日紹介してみました。真相は大学でと RT @tetshattori: 高木貞治の解析概論読むおマセさんなら頑張るかも(^^ 高校時代の私には「大学で」と言います～ QT @tsatie 高校生には謎ですか？RT ＠服部 √2 = 2（斜面と階段）by @aokomoriuta

青子守歌 @aokomoriuta

@tsatie @tetshattori まとめをお気に入りに入れてくれてコメントしてくれた方には、中3生（と自己紹介に書いてある）もいました。問題を理解するだけなら三平方の定理さえ知っていれば分かりそうなので、あれだけ多くの広い人に興味を持ってもらえたのだと思います（続）

青子守歌 @aokomoriuta

@tsatie @tetshattori （続）ただ、「なんだかよく分からない」という感じでも書いておられたので、その辺り、正確な答えでなくても、答えの到達点が見えるような部分まででも紹介できたらなぁと思ったのですが、何分私も理解が浅いので、良いのご存知でしたら教えて下さい。

Tetsuya Hattori 服部哲弥 @tetshattori

パラドックスはややこしいから興味を起こすので，140字解説は（10呟きでも）難ですが，１）折線が線分に近付くと皆が感じるのは≪線分を横軸・折線をグラフと見た時の高さで両者の違いの度合（距離）を測り，それが０に近付くこと≫と気付いて（続 @aokomoriuta @tsatie