数学TLまとめ　その2　平行線公理の話

ちゅーん @its_out_of_tune

図形か…平行な直線が永遠に交わらない事の証明とか…(´；ω；｀)ﾌﾞﾜｯ

ちゅーん @its_out_of_tune

非ユークリッド幾何学があと一息で納得できないせいで仕事に集中できない(´・ω・`)ダメ社会人ですねー。

ちゅーん @its_out_of_tune

雰囲気は解るんだが自分の言葉で説明できないとゆー微妙なライン。

きひろ @aki2124

@its_out_of_tune 球面上で扱ったり的な

ちゅーん @its_out_of_tune

@aki2124 ですです、平行線が引けなかったり、同じ点を通る平行線が何本も引けたりする空間(´・ω・`)

きひろ @aki2124

@its_out_of_tune 定義は平行線が無い空間だった希ガス

ちゅーん @its_out_of_tune

たしかユークリッドてんてーの話しは島田しゃんに教わった数学本に書いてあったんだ、なんか途中から分けわかんなくなって暫く読んでなかったけど今思うとアレは多分、平行線公理の否定の話…

ちゅーん @its_out_of_tune

@aki2124 幾つかの定義があるみたいです。ある直線と重ならない点を通り、その直線と交わらない直線が２本以上引ける空間なんてのも。とにかく、そこから先の「だから平行線公理たんは公理たんなのです」っていう説明を厳密にできない(´・ω・`)

きひろ @aki2124

@its_out_of_tune ふーむ…確かによく分からない

ちゅーん @its_out_of_tune

@aki2124 つまるとこ、平行線公理たんが成り立つ空間こそがユークリッド空間なのです。と言い変えることはできるのですが、そんな単純な話しじゃ無い気もします。(￣〜゛￣)むぅぅ

きひろ @aki2124

@its_out_of_tune なんか哲学っぽいですね

ちゅーん @its_out_of_tune

@aki2124 よく考えたら、数学者兼哲学者ってけっこう居ますよね。

ちゅーん @its_out_of_tune

そーいや高校の時の数学マニアな友達もやけに人生哲学に興味津々だった気が。もしかしてこの二つってかなり似てるんじゃ…

ちゅーん @its_out_of_tune

ちょいと整理しよう。もともとユークリッドのジジィは五つの公理を引っ張り出してきて、色々な証明をしやがったわけだ。

ちゅーん @its_out_of_tune

ところがこの、5つ目の公理、平行線公理だけはとにかく説明が長ったらしい、実はこれは単なる定理で、他の4つの公理から導き出せるはずだろこのアンポンタン！ってのが事の発端なわけだ。

ちゅーん @its_out_of_tune

で、何人ものジジィがこいつを証明しようと躍起になった、色々考えてみたけど、出来上がった証明を見てみれば、そもそもその証明のためには平行線公理が必要じゃないかとゆー本末転倒。

ちゅーん @its_out_of_tune

で、あるジジィが、「そもそも平行線公理が無い空間を仮定したら矛盾が出てくるっしょ？そしたら平行線公理公理の証明にならね？うわwwww俺天才、ワロスワロスwwwww」とか言い出した。

ちゅーん @its_out_of_tune

が、実際にやってみたら、平行線公理公理が成り立たない空間をﾊヶ━m9( ﾟдﾟ)っ━ﾝ!!してしまったと。＞球面幾何学など

ちゅーん @its_out_of_tune

さて、ここで、成り立つ空間を「ユークリッド空間」、成り立たない空間を「非ユークリッド空間」と呼ぶことにしよう。

ちゅーん @its_out_of_tune

ここで、非ユークリッド空間を「ユークリッドのおっちゃんが言ってる五つの公理から、平行線公理を外したもの」と考えるとする。

ちゅーん @its_out_of_tune

すると、非ユークリッド空間の4つの公理は、ユークリッド空間の5つの公理の中に含まれる…つまり、非ユークリッド空間はユークリッド空間の一部だと言うことになる。これはおかしい。

ちゅーん @its_out_of_tune

つまり、非ユークリッド空間には「平行線公理が成り立たない」という公理が存在する事になり、厳密にユークリッド空間とは別の公理郡であるという事になる。