2012年4月25日

じゃんけんの拡張「mod nじゃんけん」の考察

mod n(=2m+1)じゃんけんとは,0からn-1までのn種類の手を出せ,mod nの世界で自分の手より1~m大きいものに勝ち,1~m小さいものに負け,同じものとあいこになるじゃんけんを指す. 例えばmod 5じゃんけんにおいては自分より1か2大きいものに勝ち,1か2小さいものに負ける. なおmod 3じゃんけんは通常のじゃんけんと等価であり,mod 5じゃんけんは,@na2hiroがmod nに拡張することを考えるきっかけとなった,コメディ「ビッグバンセオリー」に出てくる「トカゲスポックじゃんけん」と等価である. 独り言です.数値計算を行ってグラフのplotまでしてしまいました.
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na2hiro@95連休中 @na2hiro

The Big Bang Theoryに出てくる「グーチョキパートカゲスポックじゃんけん」の図 http://t.co/Q4FW2sSC

2012-04-23 18:20:20
na2hiro@95連休中 @na2hiro

7種じゃんけん,25種じゃんけん,101種じゃんけん... http://t.co/TzkCSATT

2012-04-23 18:38:02
na2hiro@95連休中 @na2hiro

n人で数字を同時に言い,同じ数字でない限り一意に順位が決まるアルゴリズムあるんじゃないか

2012-04-23 18:44:00
na2hiro@95連休中 @na2hiro

トカゲスポックじゃんけんの要素を0,1,2,3,4と表すと,mod 5の世界で自分より1,2大きい相手には勝ち,1,2小さいものに負ける. http://t.co/OV737HZ8 奇数m(=2n+1)人じゃんけんを「m種類の手に対してn大きいものまで勝つ」と定義できる.

2012-04-23 18:51:15
na2hiro@95連休中 @na2hiro

しかしmを「出した手の中の最大」などとすると,0はその最大より1大きくその人より常に勝つ事が出来るため不平等.mを予め決めるか,平等になるようなアルゴリズムを考える必要がありそうだ.

2012-04-23 18:56:24
na2hiro@95連休中 @na2hiro

現実的には,片手5ビットでmod 32とするか,両手10bitでmod 1024のじゃんけんが良いかもしれない

2012-04-23 18:57:39
na2hiro@95連休中 @na2hiro

いや偶数じゃ1個余るからダメだな.ちょうど正反対(最上位ビットのみ反転)をあいこと定めればいいけども

2012-04-23 19:00:39
na2hiro@95連休中 @na2hiro

n modじゃんけんにおけるあいこ率のグラフ http://t.co/qbUCh1yb 2人の場合はmod→∞であいこの確率が0に漸近,3人は0.25に漸近するが,それ以外はいずれも増えている.

2012-04-24 00:52:09
na2hiro@95連休中 @na2hiro

n modじゃんけんの本質は「円をn等分してそれぞれえいやと円周上に点を打ち,自分より右回り半周の地点に相手が居ればその相手に勝つ」と言える.あいこは「参加者全員が同じ点を指す」「『自分より右回り半周に相手が居ない』人が一人も居ない」の2つの場合である.

2012-04-24 00:58:46
na2hiro@95連休中 @na2hiro

結論としては,n modじゃんけんの中では,2~3人の場合はmodが大きいほどあいこが減り,4人以上の場合はmod 3,つまり通常のじゃんけんが最適である.なお,あいこ率は純粋なあいこのみであり,非あいこでも複数人勝利があり得るため,1人のみを決めたい状況は今後の研究課題である.

2012-04-24 01:11:05
na2hiro@95連休中 @na2hiro

ビッグバンセオリーでは,5種じゃんけんはあいこになる確率が少ないという理由で登場人物が紹介していたが,2人の場合でも13%のみの減少幅だ.なお関係図は→ http://t.co/dm8IcGsi http://t.co/4f7O0ps5 http://t.co/e1rjL1yZ

2012-04-24 01:31:40
山田 剛 @yamadacsa

多人数で大きなnを使用したとき、全対戦相手に対する勝敗点にバリエーションを持たせ、それらを集計したスコアを用いて極力タイブレーキングできないものだろうか? RT じゃんけんの拡張「mod nじゃんけん」の考察 http://t.co/7elJlojC

2012-04-25 01:57:01
na2hiro@95連休中 @na2hiro

確かに,勝利にレベルをつければ簡単に順位が決定できそうだ.「円をn等分してそれぞれえいやと円周上に点を打ち,〜」の表現を用いれば,例えば「右回りして初めて相手にぶつかるまでの距離」の昇順か降順でも順位付けができる.精度(n)を無限にすればあいこ率も0に漸近し,問題は解決する.

2012-04-25 02:28:03
na2hiro@95連休中 @na2hiro

全員との距離を考慮したほうがレベルのバリエーションが増えるから漸近の仕方が良くなるはずだけど,右回りに一番近い人としても問題はないので,ここでは簡便のためそうすることにする.

2012-04-25 02:34:32
na2hiro@95連休中 @na2hiro

改良mod 5じゃんけんの図. http://t.co/qkm4PApA 循環あいこの場合,自分が勝利した相手のうちその勝利ポイントが最小(最大)のものを用い,それが最小(最大)である人が勝利とする.例えば1,2,4ならポイントはそれぞれ+1,+2,+2で,1が最小で勝利となる.

2012-04-25 02:58:48
na2hiro@95連休中 @na2hiro

Graphvizのlayout=circoで,うまくノードを順番に並べる方法が分からない.0,1,2,3,4の順番になってないので少し見づらいか

2012-04-25 02:59:39
na2hiro@95連休中 @na2hiro

同様に改良mod 7と改良mod 9の図. http://t.co/Js3bwC2l http://t.co/fuFyQCuC 勝利の度合いに差が出るため,循環あいこの時にこの度合いの違いで勝敗を付け直す事が可能になる.

2012-04-25 03:02:20

コメント

na2hiro@95連休中 @na2hiro 2012年4月25日
頂いた勝利点のアイデアと,そこからの考察を追加.勝利点の付け方ごとの漸近の仕方の違いをグラフにしたい.
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ISA @koge2do 2012年10月31日
理論的には面白いけど、勝者を早く決定したいだけならゲーマージャンケン(小数勝ち)でいいよね / http://www.tgiw.info/2008/03/post_572.html
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