『Henle集合論』勉強会・第2章

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

公理を最小限に使って導けるようなことを、大仰な定理を使って導くと、ことの核心が見えなくなるような気がしてかなり嫌いなんだけれど、なんて表現すればよいのか思いつかなかった。確かに「牛刀」（牛刀割鶏）はピッタリだな。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

.@noukoknows 特に自然数について証明するとき、使った定理の証明を全部書いた場合に、数学的帰納法を何回用いる必要があるか、とか気になるw

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】例えば定理2.19の証明(p104)のCase3bにあるS(b)+S(t)=S(b+S(t))は、読み流してしまいそうになるが、かなり「重い」等号だと思う。個人的にはこういう視点を重視したい。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本2章末、和の公理を満たすような関数が存在することの証明。「A is good for adding numbers up to m」って、なんて訳すんだろう。要はA(<n, k>)が、k∈m(m未満のk)に対しては和の公理を満たすようにできているということ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】A(<n,0>)から順に、A(<n,1>)、A(<n,2>)を順次定めることができる。二次元のマスを行単位で埋める感じだ。全てのmで和の公理を満たすA(<n,m>)が作れることを数学的帰納法で証明し、晴れてA#が定まるが、これが集合をなすかどうか、自分で判断できない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】一意性の議論のところは、要するにa=bならばS(a)=S(b)であることがキモとなる。これの根拠をさらに追求するとなると、等号公理（集合論以前の論理の公理）ということになるのだろう。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】しつこくまとめ直すけど、「反対称律」「対称律」「異物比較可能律」（最後のは僕の勝手な造語）は、対角線上にない対称マスの組に対して、それぞれ「チェック『2個』の状態を許さない」「『1個』を許さない」「『0個』を許さない」という条件。対角線上のマスには関知しない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】これらのうちのいくつかと、対角線上のマスに言及する反射律・無反射律を必要に応じ組み合わせれば、多くの条件がスッキリ表現できる。