予言と預言／与言、あるいは集合論 #prophecy

@millionsage

ん、外延的定義（枚挙的定義）「要素elementの列挙で定義」って、直接に集合論で扱うことできたっけ？　全部、条件的定義にしてから扱うような。。。どやっけ？　@tricken

@tricken

.@millionsage いやまあそうなんですけども。僕が念頭においているのは、この頁（解説は丁寧）みたいなヴェン図のややこしさです。http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/condition.htm

@tricken

要素（element）の列挙によって定義される外延的定義（＝枚挙的定義）と、集合（set）の重なりのどこに属するかで定義される内包的定義（＝条件的定義）のうち、この図じゃ枚挙すべき点がどーなってるのかさっぱり分からんかった。今なら推論して補完できるけどさ。

@tricken

.@millionsage いや、その通りだと思うんです。基本的に集合は内包的定義であって、どこに誰がいるかは、（おそらくはdomainが単一であることを保証できなくなるから？）問題にしないと思うんですね。でも最近、概念を考える上でますます外延の方が重要だと思うようになりまして。

@tricken

集合論におけるヴェン図が、基本的に内包的定義の絞り込みであると考えれば何の問題もない……んだけど、集合論では（一階術語論理でもそうだけど）基本的に外延のことはうっちゃって、条件の重なりをバシバシ計算していける構造になっている。しかし自分が知りたいのは、日常的概念との対応だった。

@millionsage

集合論を窓から投げ捨てろっ！！ｗ　というか人文学では内包的定義使うのは、よほど簡単な事象だけでは。　@tricken

@zhanpon

集合の内包的定義と外延的定義って単に表記法の問題じゃないの。

@zhanpon

@tricken 少なくとも数学においては内包的定義と外延的定義は表記上の問題な気がします。無限集合においては、すべての要素を列挙することはできませんが{1,3,5...}のように意図が伝わるように外延的に定義することはできます。（続く）

@zhanpon

@tricken 数学で用いる集合においては、あるxがその集合に属するかどうか客観的に判定できるかどうかが本質的なので定義の仕方はどうでもいい気がします。素朴集合論においては厳密であれば形式的である必要はないと思います。

@zhanpon

@tricken あー、なるほど。日常的な概念に適用するとヴェン図のどういうところが不自然に感じられるのでしょうか。

@tricken

今なら哲学書を読んで、指示対象と日常的語彙との対応づけは、内包的定義だけではどーにもうまくいかない……何をなんと呼ぶか、その呼び方がどのように歴史的変遷を辿ったかの外延に着目した分析が必要だ……と理解するようになって、それで「十分条件／必要条件」に関するヴェン図の謎は解けた。

@tricken

@millionsage いやまあ、そうですねｗそもそもdomainが多重なんで。

@tricken

たぶん、その辺りのことを挑み始めたのはラッセルのタイプ／トークンの話（あるいは彼が批判したJ.S.ミルの論理学）あたりからなんだろうけど、学習が足りずよくわかっとらんのじゃった。

@tricken

.@zhanpon http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/condition.htm この下の方の図がよく引き合いにだされますが、これって基本的に内包的定義（＝条件的定義の“せばまり”）を表現してますよね。でも……

@tricken

.@zhanpon （承前）……個々の要素との対応について考える時、「指示対象（外延）」それ自体は、「内包のがわで定義条件が増えるほど」狭まってゆくはずなんですよね。内包的定義が増えるほど、外延的定義の対象は絞りこまれる。この外延／内包両方を示す動きが（当時）知りたかった。

@tricken

.@millionsage 外延的定義について何か言おうとすると、そうならざるを得ないんじゃないか、と思ってます。そして多分、ヴェン図を使う際には、そもそも外延的定義はうっちゃって、集合（内包的定義の重なり合い）にだけ着目しろ、ということであれば、まあそうなのですけれど。

@tricken

.@zmzizm ありがとうございます。たとえば、「必要条件／十分条件」を、外延的定義の側で説明しようとすると、どんなヴェン図の書き方になるでしょうか？

@tricken

集合論や述語論理について、基礎的なことは何度も確認しているんだけど、物凄い初歩のところでつまづいているかもしれないとはずっと思ってるので、無知を晒すつもりで長年の悩みを開陳している次第。

@millionsage

やっぱ集合を考えるときに「狭まる」「広がる」「増える」「減る」みたいな量概念をちらつかせてるからわけわからんくなるんじゃね？　@tricken

@zhanpon

@tricken うーむ、よく分かりません…。内包的定義という言葉は使いますが、「内包のがわ」というのはなんでしょう。

@zhanpon

@tricken 一度、必要条件・十分条件とあのヴェン図のつながりを無視してみたらどうでしょう。命題論理的に言えば「→」というのは論理結合子で、意味論的にブール値関数という役割を与えられているだけなので。

@zhanpon

てか真理集合ってなんやねん。一階述語論理のモデルの話か？

@zmzizm

@tricken 内包的定義は円を（条件によって）動かす操作で、外延的定義は円の内外にちらばる個々の点を動かす操作だと考えれば、どちらでもベン図（オイラー図）を自然につかえる気がしますよ

@zmzizm

@tricken 図の書式はとくにかわらなくて、同じ図で両方の操作レベルを処理できるんじゃないかなってことです。あと「必要／十分条件による外延的定義」が想定しにくいのですが、なにか具体例おねがいできますか

@zhanpon

P,Qという単項述語は意味論的に議論領域の部分集合が与えられてて、Px ∧ Qxを新しい述語と考えれば、与えられたそれぞれの部分集合の積集合になるが、そういう話だろうか。