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@tenapi
@y_bonten カメがアキレスの前に永遠にい続けることがあり得ないための十分条件であって連続性の要請を導くための必要条件であれば良かったわけなので、そこはご理解のほどを。
2012-09-15 20:36:48
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@tenapi はい、要らない条件を切り詰めれば切り詰めるほど、連続性の要請が浮き彫りになるというわけですね。
2012-09-15 20:47:10
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
しかしまぁ、「カメはアキレスより確かに遅いのに、カメが逃げ切れるケース」に言及してる啓蒙書が日本に（他に）あるだろうか？
2012-09-15 20:49:45
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
いまやっと気づいた。カメの曲線が青領域に収まるのみならず、各点での傾きが常に制約されることによって、いったん追いつかれたカメが再びアキレスに追いつくことが禁止される！
2012-09-19 14:11:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】p76。この程度の計算でも自分で確かめないとついていけないので書いてみた。これで考えると、「nがk桁の数であれば、H_nは(9/10)k+1よりは大きい」のところは「(9/10)(k-1)+1」が正しいのではないだろうか。 http://t.co/qw9oxwkZ
2012-09-20 10:17:50
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】厳密にいうとn＝1のときだけはnは1桁でH_n＝H_1＝1だから、「より大きい」ではなく「以上」ではあるが。
2012-09-20 10:18:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】p125の真ん中あたり、P_{m_k}とQ_{n_k}の番号の振り方に疑問。まず「Q_{n+1}＝Q_n」の「＝」は「≠」？あとのグラフを見るかぎり、m_k, n_kは一言で言えば「新しい位置に打った点（P_0,Q_0を含む）」の番号を取り出して並べたもののはず。
2012-09-20 10:31:15
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】p.167、「差」の定義を(a-c, b-d)としてよいのだろうか。(a+d, b+c)とすべきでは？
2012-09-20 10:31:59
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】p189,190の込み入った証明を理解するためのポイント。第2段が「補題」の役割を果たす。第1段は第3段の(A)を切り出しただけ。つまり、まず第2段を証明しておき、第3段の(A)のところに直接第1段を書いてもいい。
2012-09-20 18:12:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
いわゆる「二重帰納法」の証明だが、ここでは∀a,b[φ(a,b)]を∀b[∀a[φ(a,b)]]と考えて証明している。つまり、まず∀a[φ(a,0)]を証明し、つぎに「∀a[φ(a,x)]ならば∀a[φ(a,sx)]」を証明する。
2012-09-20 18:13:10
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
この「」内の二つの∀aは、同じaという文字を用いているが、束縛変数であって、直接の関係は無いことに注意。
2012-09-20 18:13:35
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
原本に戻ると、第3段(B)で「A(a,x)＝A(x,a)と仮定しよう」とあるのは「すべてのaについてA(a,x)＝A(x,a)と仮定しよう」という意味。その後に出てくる「a」は他の文字でも構わず、やはりすべてのソレについて成立することを導いている。何となく読んでると見落とす。
2012-09-20 18:16:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
二重帰納法ととらえれば前述の通りだが、第3段でaをなにか固定して、その特定のaに対してだけ第1段・第2段の結果を利用したと考えれば、第3段のaはすべて共通のものを指すと解釈することもできるわけか……（声が小さくなってきた）
2012-09-20 18:36:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【魅了する無限】結局p189・p190の証明は、示すべき命題を∀a(∀b[...])と考えて、特段の制約を課されていないaの一つ一つに対して、bについての数学的帰納法によって∀b[...]が示されるために、∀a,bで成り立つ、と解釈したほうが良さそうだ。
2012-09-21 04:50:38
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
二重の帰納法を行う必要が無かったのは、第2段という補題の存在のおかげ。その代わり第2段自体の証明に数学的帰納法が必要になる。もし第2段がなかったら、aを固定して第3段の証明を進めることは難しい（たぶん無理）。
2012-09-21 04:51:16
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
だが前述のとおり、(A)では∀a[φ(a,0)]が示されたと考えて、(B)も∀c[φ(c,x)]を仮定して∀d[φ(d,sx)]を示す、という方法なら証明可能。ここでφは「交換則が成り立つこと」とし、紛らわしい束縛変数には別の文字を用いた。
2012-09-21 04:51:33
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
(B)の中で再び数学的帰納法を用いる。ガッツリと入れ子になった二重帰納法だ。まず(B1)としてA(0,sx)＝A(sx,0)を示せばよいが、これはA(sx,0)＝A(0,sx)と同じことなので第1段で示されている。等号の左右を入れ替えているだけなので循環論法ではない。
2012-09-21 04:52:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
(B2)φ(y,sx)を仮定してφ(sy,sx)を示す。いま使っていいのは、(B)の外枠の仮定である∀c[φ(c,x)]……(*)と、このφ(y,sx)であることに注意。A(sy,sx)とA(sx,sy)を比較する。
2012-09-21 04:53:09
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
A(sy,sx)＝sA(y,sx)＝s(sx,y)＝ss(x,y)。一方A(sx,sy)＝sA(x,sy)＝sA(sy,x)＝ssA(y,x)。両者は(*)により等しい。後者の2つ目の等号でも(*)を用いていることが最大のポイント。
2012-09-21 04:53:43
大上丈彦
@otakehiko
『魅了する無限』(@tenapi )、いま4章くらい。梵天先生が「アキレスとカメ」でここまで書けるのか、と書いた意味がよくわかる。面白いデス。
2012-09-21 10:10:52
大上丈彦
@otakehiko
あら！有り難うございます！『魅了する無限』のお仲間増えて嬉しいわ。結構難しい話がうまく運ばれていますよ @tenapi RT @shigechiyo_san: @otakehiko さっそくポチってみました。 楽しみデス。
2012-09-21 12:40:23
大上丈彦
@otakehiko
@hyuki メルマガ今週も楽しく拝読しました。とくに数学作法、偶然同時に読んでいる@tenapi 殿下の『魅了する無限』もそうなのですが、「既に知っていること」もありつつも「よくここまで書いた」と言いたくなります。一段メタな感想ですが、そこまで書くのが大事と思いました。
2012-09-21 14:14:54