まとめ主がひたすら圏論入門するTL

hiratara @hiratara

@its_out_of_tune @fumieval なんだかすみません。。。Kleisli圏って話でしたら、「a から b への射は、a から m b への関数である」と定義するだけでOKです。合成はbindを使って、恒等射はreturnで。

ちゅーん @its_out_of_tune

クライスリ圏の定義ってHaskellのモナドそのものやってん。

ちゅーん @its_out_of_tune

Hask圏についてはなんかもっと情報が必要。

ちゅーん @its_out_of_tune

数学力無さすぎて行列計算できないせいで、行列が圏だと言われても実感沸かない。

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune 行列をかける、という操作は写像とみなすことができますよね？

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon はひ！

ちゅーん @its_out_of_tune

Wikipediaの行列の項目に積の模式図が増えてる。コレ見てやっと解った感。

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune 対象として行列の集合を取り、射として行列の積を取りましょう 任意の行列に対しAE=EA=AとなるのでEをかけるのは恒等射です (m,n)行列Aの場合はdom(A)=m,cod(A)=nとすれば(m,n)なるAと(n,l)なるBでABが定義できます

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon うえぇ、ちょっと考えてま。対象が行列の集合で射が積の集合て所まではおkでつ。

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune (m,n)行列とは、m✕n行列という意味です 最後の文は射の合成f . gを定義するためのお話です(射の合成ができることも圏になるための必要条件なので)

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon まず、(m,n)行列と(n,l)行列の積が(m,l)行列になることから、domを行codを列と定義すれば、積を射と捉える事ができる。という事ですよね？

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune ですね あ、この場合はいかなる行列もそれだけからなる対象としています(こちらのほうが自然な気がしたので)

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon 「それだけからなる対象」が解らないです(´・ω・｀)

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune 行列Aがあった時、集合{A}を対象Aと書くことにしているという意味です これとは別に全ての行列を要素に含む集合を対象とする圏も考えられますが、これだと対象が1つしかなくて射も恒等射しかない(モノイドになります)のであんまり楽しくないかなぁとか

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon ええと、行列Aのみの集合{A}を対象Aと定義しているワケでつね。集合である意図がよく解ってないですが…

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune 意図はありません ただ、モノイドにするときには全行列の入った集合を対象とするのが自然な気がしたのでそれに合わせただけです 対象が集合になっていることって結構あると思うんですが？

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon そうなのでつね。単純に不勉強です、申し訳ない。最初のAE=EA=Aについてもうちょっと詳しく話してもらって良いですか？

たいへんあやうひ @aYauHi

@myuon_myon @its_out_of_tune 横槍で悪いのですが、「行列を対象とする圏」において、射 dom およびcodはどう定義されるのですか？

みょん @myuon_myon

@its_out_of_tune いえ、私もまだほとんどやっていませんので Eは単位行列です (m,n)行列Aが存在した時、E_mをE_m = (m,m)で対角成分のみ1,あとは全部0であるような行列と定義します この時、E_n A = A E_m = Aであることが示せます

みょん @myuon_myon

@aYauHi (m,n)行列に対してdom(A)=m,cod(A)=nで良いのではないでしょうか

たいへんあやうひ @aYauHi

@myuon_myon domやcodは『「射」から「対象」への写像』なので、その定義なら対象は自然数、射は行列ですよ

みょん @myuon_myon

@aYauHi そうでしたね では f:A->AB のときに dom(f)=A, cod(A)=AB としましょう

ちゅーん @its_out_of_tune

@myuon_myon こっちは把握しますた。

たいへんあやうひ @aYauHi

@myuon_myon そのfとは、「任意の行列に右からBをかける関数」でしょうか、それとも「（任意でない）行列AとABの組」なのでしょうか

ちゅーん @its_out_of_tune

ああ、積を射、対称を行列とする場合、domやcodは行列じゃなきゃいけないのか。