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its_out_of_tune
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みょん
@myuon_myon
行列圏：対象としてベクトル(である必要はない？)、射として行列をとる この時A:a->bのように行列はベクトルをベクトルへと移す操作とみなせますからdom(A)=a,cod(A)=bです このとき恒等射として単位行列Eを取ることができて、射A,Bの合成を積で定義すればこれは圏です
2012-10-24 00:44:06
ちゅーん
@its_out_of_tune
@myuon_myon @aYauHi つまり、自然数を対象として、行列を射、積を射の合成と定義したうえで、イメージは最初の考え方で合ってるとゆー事でおkでしょうか？
2012-10-24 00:45:10
みょん
@myuon_myon
@its_out_of_tune 対象が自然数だと、射のdomain,codomainをどうやって定義するんですか…？(私はベクトルが自然な気がしていました)
2012-10-24 00:48:31
ちゅーん
@its_out_of_tune
@myuon_myon 射が行列なら行をdom、列をcodで良いのかなぁと思ったのですが。各々がベクトルとゆー事はあくまで行列の積が射という事ですか？
2012-10-24 00:52:18
みょん
@myuon_myon
@its_out_of_tune あーなるほど、たしかにそれでもいいですね 私としては行列は線型写像というイメージが強いのでEを恒等射に置きたいし、そうするとid: A->A だからやっぱり対象は行列か最低でもベクトルかなぁと思ってしまいますね><
2012-10-24 00:56:25
たいへんあやうひ
@aYauHi
@myuon_myon @its_out_of_tune idは対象から射への写像ですから、 id n は(n,n)単位行列でよいのでは ちゃんとEが恒等射になります
2012-10-24 01:06:25
ちゅーん
@its_out_of_tune
@aYauHi 理解力なくて申し訳ない、idが対象から射への写像というのが解らないです。てっきりidは恒等射そのものかと…
2012-10-24 01:18:41
たいへんあやうひ
@aYauHi
@myuon_myon id_A Aを引数であるとみなしたら、という意味でしたが、一般にそういう言い方はしないような気がします すいません。 でもid_n は(n,n)の単位行列というのは本当なので、Eは恒等射になります
2012-10-24 01:23:17
ちゅーん
@its_out_of_tune
ええと、とにかく行列を対象、積を射、単位行列を恒等射とおいて圏を定義できるって事だよね…後は自分で手を動かして確認してみるしかないか…
2012-10-24 01:26:52
たいへんあやうひ
@aYauHi
@its_out_of_tune すいません ふつうid_A と書いてA->Aの恒等射そのものを表します さっき自分が書いたのは、「対象Xに対してid_Xを返す関数 」をidとよんでいたのです
2012-10-24 01:27:37
みょん
@myuon_myon
@aYauHi 今って対象を自然数にしているからそれは無理なのでは…？ 対象を行列かベクトルにすれば確かにidは単位行列になりますね
2012-10-24 01:30:53
ちゅーん
@its_out_of_tune
@aYauHi 把握しました。単位行列をid、行列を対象、積を射と定義して圏が成り立つとゆー事ですね。この場合、射の合成ってどうなるのでしょう？
2012-10-24 01:31:50
たいへんあやうひ
@aYauHi
@myuon_myon 例えば 2(∈対象) の恒等射 id_2 は、Hom(2,2)の要素、すなわち(2,2)行列で、X id_2 = X、 id_2 Y =Y を満たすもののことですからこれはまさにEです
2012-10-24 01:37:58