前野昌弘『よくわかる初等力学』勉強会（第8章～）
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】この状況では剛体が回るにも関わらずΣm_i(R_i^2)が一定値Iとなるので、[L_ω]'＝I[ω]'となり、まさに「角速度の変化させにくさ」を表す指標となる。
2013-04-23 09:50:05
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】固定軸のある運動については、外力のモーメントを、「軸の方向を一定に保つために必要な分」と「角速度を変化させるために必要な分」とに分けて考えると分かりやすい。前者は「基本使用料」のようなもので、[L]を[ω]と垂直な方向にだけ変化させる。
2013-04-23 12:28:32
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】後者が[L_ω]'を生み、これと角加速度の比がΣm_i(R_i)^2。一方で慣性乗積がゼロになるときにx,y,z軸のまわりに回したいときは（あるいは一般に慣性主軸のまわりに回したいときは）[L]と[ω]の方向が一致し、この基本使用料を払う必要がない。
2013-04-23 12:29:37
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】テキスト8.5節で計算されている慣性テンソルは、いずれも重心に関する対称性が良く、重心を原点としたときの慣性乗積がゼロになるものばかり。テンソルの御利益を感じるには物足りないかも知れないが、初歩の話だから仕方ない。こういうのばかりでないことさえ認識しておけばよい。
2013-04-23 12:32:05
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】慣性乗積がゼロの場合にはIxx, Iyy, Izzが先ほどのΣm_i(R_i)^2と全く同一となるので、やはり「剛体の角速度の変化させにくさ」の指標として理解することができる。
2013-04-23 12:37:10
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@y_bonten
【初等力学】8.2.2節の棒の例で、原点をいろいろ変えて角運動量の値がどう異なってくるか試していたのだが、なぜか変わらんことに気づいた。均質な棒は、中央が静止している限り、どこを原点にして角運動量を考えても同じ値になるのだな。
2013-04-24 10:26:15
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@y_bonten
【初等力学】中央を挟んで対称な微小要素m1,m2の角運動量の和はr1×m1v1＋r2×m2v2だが、いまm1＝m2（＝mとする)、v1＝－v2(＝vとする)から、これは(r1－r2)×mvとなり、2質点の相対位置のみに依存する。
2013-04-24 10:28:47
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】8.2.2節の棒の例はいずれも、「物体が仮にこのような運動をしているならば、角運動量はこのように変化しているはず」ということから、「このような運動を起こさせるためには、このように力のモーメントを加える必要がある」というふうに議論している。
2013-04-24 12:47:59
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】だから、例えば初めの例で「角運動量は保存される」とあるのも、「そのように運動させたければ、角運動量が変化しないように気をつけなければならない」ということである。「角運動量保存則により保存される」と理解してしまったら本末転倒になるので注意。
2013-04-24 12:48:34
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@y_bonten
【初等力学】p240「二つにわけておくと、運動量＝0という点も同じになる」；ここはよく分からんかった。中央から等距離の2点に質量が半分ずつ集中していれば、運動量は確かにゼロになる。
2013-04-24 13:06:30
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@y_bonten
【初等力学】8.2.2節の二つ目の例は、動く端から固定端に向かう方向の力（固定端まわりの力のモーメントとしてはゼロになる）を常に棒に加えてやれば実現できる。これを、固定端の直下の点を原点にして考えても辻褄が合うだろうか。
2013-04-24 14:20:26
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】この場合、角運動量ベクトルLはz軸方向真上を向かず、負のy成分を併せ持つ。角速度ωを保つためには、Lをωのまわりで回す必要があり、そのために今はLをx軸方向に変化させなければならない。
2013-04-24 14:21:35
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】いっぽう、先ほどの力（y軸の負の方向）のモーメントは、位置ベクトルがさっきと異なることに注意すれば、確かにx軸の正の方向を向いている。わざわざ複雑に考えるメリットは乏しいが、きちんと辻褄が合っているのだ。
2013-04-24 14:22:24
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】最後の例についてはどうか。この運動は外力も外力のモーメントも必要ということになっているが、これも固定点を原点にとった場合の話。
2013-04-24 15:48:48
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@y_bonten
ちょっと計算してみたところ、固定端の直上(2/3)Asinθの高さ（つまり棒の固定端から2/3のところと同じ高さ）を原点にとると、角運動量がy成分を持たず、変化させる必要がなくなる。実際、この高さで棒にz軸方向の向心力を加えれば、この運動が実現されるはず。
2013-04-24 15:49:20
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】要するに、「ある運動を実現するために力のモーメントを加える必要があるかどうか」というのは固定的な話ではなくて、原点の取り方によってどうにでもなる。その点をしっかり認識しておかないと、8.2.2節の2対比を誤読してしまう可能性が高い。
2013-04-24 15:50:14
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@y_bonten
【初等力学】その例外が（何度も触れたが）力が釣り合っている場合で、このときだけはどこを原点にとっても力のモーメントは同じ値になるため、原点を指定せずに「力のモーメントを加える必要がある／ない」と述べることが意味を持つ。
2013-04-24 15:51:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
それにしても初等力学、こんなに難しいのにみんなあっさりクリアしてんだろうか・・・私のツイートを読んで密かに「自分も分かってなかったわ」って思ってる人が少しくらいいると信じないとやってられましぇん・・・
2013-04-24 16:07:25
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】（指摘）p244；2箇所の「ω」が「w」になっている、p246式(8.37)、「重心のx'座標」；M倍して初めてそうなるのでは？、またy'はどこに？、p248「0からπまで」；2πまで、p249の11行目「距離Rの位置ののみ」。
2013-04-24 20:21:42
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】8.4.1節、平行軸の定理。同じ質点分布の剛体に対しても、「どの場所の質点を『速度ゼロ、位置ゼロ』としたときを考えるか」によって、慣性テンソルの値は異なってくる。そのつど計算し直せばいいのだが、質量中心のヤツを計算しておくと他のが求めやすい、という話。
2013-04-26 17:26:16
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】実際に剛体を運動させるときに、（素朴な意味で）一般の質点Aと質量中心Gの両方を同時に「速度ゼロ・位置ゼロ」にするというのは想像しづらい。
2013-04-26 17:26:39
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】あくまで2つの「別の状況」を見比べたときの慣性テンソルの差額が、「その剛体と等しい質量がGと同じ場所に集中している剛体の、Aと同じ場所のまわりの慣性テンソル」と等しくなる、と考えればよいのだろうか。
2013-04-26 17:26:53
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】それでも悪くないが、少し前に述べたように、相対位置・相対速度を用いて定義した「角運動量モドキ」を与える、「慣性テンソルモドキ」を想像してもよい。
2013-04-26 17:27:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】Aを速度ゼロ、位置ゼロとしたときの剛体の慣性テンソルは、（質量中心に質量が集中したと考えたときの慣性テンソル）＋（質量中心からの相対位置・相対速度で考えたときの慣性テンソルモドキ）
2013-04-26 17:27:33
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】これを、「質量中心とともに動く座標系から見た場合の角運動量・慣性テンソル」と言ってもいいんだけれど、なんか苦手なのよね・・・一般に質量中心は加速度を持っているから、非慣性系を考えることになるけれど、「慣性力とか考えなくていいのか？」とか、いろいろ悩んでしまう。
2013-04-26 17:29:01