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Tomoki UDA
@t_uda
どこから K=\Q(\sqrt{-5・11・461}) が出て来たのかよく分かっていないぞ〜〜〜？？？？？ [461 is なに] #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:11:51
Tomoki UDA
@t_uda
確かにPIDだな？？？？？ [色々細かいところがよく分かっていないけれど今まで出てきた式を組み合わせて式変形したら確かにPIDだな？？？？][つらみ] #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:19:30
Tomoki UDA
@t_uda
系. ZFで以下は証明できない. (1) PID ならば UFD. (2) PID ならば 極大イデアル m をもつ. [危うくまたUFOって書きかけた] #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:24:42
たちうさだった
@tatyusa419
ZFで以下は証明できない (1) PID => UFD (2) PID => 極大イデアルを持つ #kansaimath
2013-09-21 11:25:03
Tomoki UDA
@t_uda
「皆さんご存知の通り、"UFDならば極大イデアルをもつこと"と選択公理は同値です！」 #選択公理ちゃんマジ公理 #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:26:12
Tomoki UDA
@t_uda
定理. 代数閉包\overline{\Q}/\Qが一意に存在する、ならば、{X_n}_{n=0}^∞, |X_n|=2 は選択関数を持つ。 [0の下半分が消えかかっててλに空目するなどした] #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:29:12
Tomoki UDA
@t_uda
証明) p_0=2, p_1=3, ..., p_n=(n番目の素数), ... とする。 #0は自然数 #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:31:17
Tomoki UDA
@t_uda
R:=\Q[x_0,x_1,...], I:=(x_n^2 - p_n | n\in\N) ⊂ R は極大. K:=R/I:体. K/\Q:代数拡大. #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:33:17
Tomoki UDA
@t_uda
\overline{K}/K:代数閉包とすると、\overline{\Q}と\overline{K}は同型 #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:33:42
Tomoki UDA
@t_uda
{X_n}_{n=0}^∞, |X_n|=2をとる。n≠mならばX_n∩X_m={}と仮定してよい。 #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:35:10
Tomoki UDA
@t_uda
X:=\union X_n, \Q[X]を考える。 f_n:=Σ_{x\in X_n} x \in \Q[X]. g_n:=Πx + p_n \in \Q[X]. J:=(f_n, g_n | n) ⊂ \Q[X]:極大 #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:37:05
Tomoki UDA
@t_uda
L:=\Q[X]/J:体, \overline{L}=\overline{\Q}=\overline{K} (同型), \exists φ:\overline{L} \to \overline{K}: 同型. #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:38:54
Tomoki UDA
@t_uda
x\in X をとる. あるn; x\in X_n={x,y}; x+y\in J, xy+p_n\in J. (x+J)^2 = x^2 + J = -xy+J = p_n + J. #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:40:57
Tomoki UDA
@t_uda
φ((x+J)^2) = φ(p_n + J) = p_n + I = x_n^2 + I. φ(x+J) = ±x_n + I. ∴任意n\in\N, 一意x^(n)\in X_n; φ(x^(n)+J) = x_n + I #kansaimath #kansaimath407
2013-09-21 11:43:30