『Henle集合論』勉強会・第6章

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】テキストの証明では、順序数の集合Aの任意の要素αをとる。α∩A＝φならα自身が、≠φならα∩Aの最小元が、Aの最小元となるというアウトライン。正則性公理によりα∩A＝φなるαは必ず存在するので、「≠φなら」以降は不要だと思う。何か勘違いしてるかな。

ただまご = 永島孝 @tadamago

@y_bonten 整礎性（正則性）の公理はあるんですね．それなら ∈ の無限下降列の存在しないことは，順序数という前提なしに成り立ちますね．

TS @ta_shim_at_nhn

たとえば、Kunen の本の1章の終わりの方にある順序数の性質の証明と3章の整礎集合の理論のところを眺めるとわかるのですが、順序数の理論を展開するのに正則性公理は不要です。Henle の本にそう書いてあるとしたら、正則性公理を仮定していたことを忘れているのかもしれません。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@tadamago ありがとうございます。おっしゃる通り、整礎性（正則性）の公理は置かれていて、すでに「関係∈が全順序をなすならば整列」が証明されている状況です。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@y_bonten @tadamago 確かに、A が真クラスでなければ必要ない場合わけかもしれませんね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@tenapyon ありがとうございます。Suppose A is a set of ordinals.で始まっているので、集合をなす範囲での議論になっています。Aが真クラスの場合、今度はα∩Aなどをいちいち吟味しないといけなくなりますね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

あ、そうなのですね。そこが知りたかったのです。ありがとうございます。Aが真クラスだとそのまま通用しそうにないと感じていました。RT: @tenapyon Aが集合である保証がない、と言う場合にも通用する

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

直接に正則性公理を使うのを避けたとしても、他に使った定理の証明のおおもとを辿ると使ってたりするから油断ならんなぁ。検証は後回しにしよう。

TS @ta_shim_at_nhn

正則性公理をどんどん使うと最初から割り切って考えれば、竹内「現代集合論入門」のように、順序数を ∈ に関し推移的な全順序と定義してしまえばよいわけです。Henle の本は正則性公理がない場合にも通用する順序数の定義を持って来たので、長い証明も短い証明も書けてしまうという。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

まあ、見方を変えて考えれば、順序数が順序数であること、というか、あのような者たちであることに関して、正則性公理はなんら寄与していないわけですからね。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

何か整列集合（W,<）があったとしてそれについての超限再帰で f(w) = { f(x) : x<w } をみたす函数 f を作りその値域を（W,<）の順序型という、と定義すれば、正則性公理と無縁にできる。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@tenapyon んで、整列集合が同型ならこう定義した順序型が一致するとか、順序型は∈に関して整列された推移的集合であり、また∈に関して整列された推移的集合はそれ自身の順序型であるとかいう結果を確立して、「なので∈に関して整列された推移的集合を順序数と呼ぶよ」と言う。いかが？

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】それにしてもfor γ∈A either (α∈γ so β∈γ), or (α＝γ so β∈γ), or (γ∈α so γ∈α∩A so (β＝γ or β∈γ))って一文で書き切ってしまうHenle先生の強引さ。原文には括弧が無い。あ、βはα∩Aの最小元ね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】テキストの証明にも一応注釈を。Aは順序数の集合であって、A自身は順序数とは限らないことに注意。α,γはAの要素なので順序数、したがって「∈」について三分性が成り立つことを用いて場合分けしている。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】β自身が順序数であることは特に用いていない。β∈αと「γが推移的集合であること」から「α∈γ so β∈γ」が、β∈αから「α＝γ so β∈γ」が言える。この2つはβがα∩Aの最小元であることも使ってないな。最後のだけ使う。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】定理6.8、「順序数の集合Aに対して、∪Aは順序数であり、しかもAの∈上限である」。例えばA＝{α,β,γ}は一般に順序数ではないが、いま考えているのは∪A＝α∪β∪γ、つまりαの要素とβの要素とγの要素からなる集合。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】これはAが有限集合なら簡単。そのときはAは最大元を持つので、例えばαがAの最大元ならβ⊂αかつγ⊂αかつ……により∪A＝αとなって、確かに∪Aは順序数でありAの上限になっている。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】Aが無限集合の場合は最大元を取るわけにはいかないので、定義に戻ることにしよう。先に証明した「順序数の要素は順序数」という定理が効いてくる。これにより∪Aの要素はすべて順序数であることが分かり、すると推移性や三分性は言えてしまう。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henlel】あとは「推移的集合」性だが、これはゲーデル流に言い換えて考えてみよう。∀x∈∪A[x⊂∪A]が成り立てばよい。あ、そりゃそうだ。∪Aの要素xはAの要素のいずれかに属している。いまx∈α∈Aとすれば、順序数αは推移的集合だからx⊂α、これとα⊂∪Aからx⊂∪A。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

∪A（悲しみジョニー）

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】順序数同士の関係を考える限り、∈⇔(⊂∧≠)、(∈∨＝)⇔⊂（⊂は⊆と同じ意味で使っている）。いま∪Aの定義から任意のα∈Aに対しα⊂∪A、したがってα(∈∨＝)∪Aなので、∪AはAの∈上界。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】∈の下にイコールを添えた記号が欲しくなる日が来るとはな……

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】「∪Aの定義から」のところをきちんと書くと、∪Aは　x∈∪A⇔∃y[x∈y∧y∈A]　によって定義される。したがってx∈α∈Aを仮定すればx∈∪Aが導かれ、α⊂∪Aとなる。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】あとは∪Aの最小上界性。これも「∈∨＝」を「⊂」に置き換えて考える。Aの任意の上界γをとり、∪A⊂γを導けばよい。これも∪Aの定義から言える。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【Henle】ここもきちんと書いてみる。x∈∪Aを仮定してx∈γを導く。∪Aの定義からx∈β∧β∈Aを満たすβがとれる。γはAの上界なのでβ⊂γ。これとx∈βからx∈γ。