2014年11月30日

ガリレイ対称性と結びつく保存量

ガリレイ対称性と結びつく保存量についての議論(初めのつぶやきでは保存力と書かれていましたが、保存量に変えました。)
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ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt そうすると、相空間からLie代数の双対空間への運動量写像というものが得られます #新しい概念で混乱を助長する 一応、数学とかでは、運動量写像というのは、ネーターの定理の現代的な定式化ということになってます

2014-12-02 22:06:03
ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt イイカゲンに言うと、一般に連続群で記述される対称性がある時、その群のLie代数の生成元が、保存量を与えます。これは群の作用を微分するだけで、量子力学でもHamilton形式の古典力学でも一緒です。後者の場合、群作用が正準変換であることを要求するのが普通で(続

2014-12-02 22:03:08
高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@maophilia 質量を含む項が出たのは分かったのですが、これが保存量とどう関係するかが分からず、おとなしく群論を勉強しようと思いました。 RT ガリレイ変換単体でなく、並進と組み合わせると、質量を含む項が出るのでした

2014-12-02 21:33:17
高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

みんな、Twitterで議論するときは、タグ付けようぜ!!!

2014-12-02 20:57:05
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

確かにその見方は直感的でいいですね。ハミルトニアン形式が時間並進の生成子であるHを特別視するものだから、それとの可換性を特別なように感じていたけど、対称性だけを考えるなら、回転と並進は可換じゃないのはあたりまえ。 @gandhara16 @hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 15:21:03
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

そうすると,4次元回転が4次元並進と可換でないことから,QとHが可換でないのが納得できると思うのですが。 @hiroki_f @hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 14:31:34
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

突然失礼しますが,ローレンツ群だと4次元角運動量になるもの(M_{01}とか)がニュートン極限でガリレイ変換の保存量になると理解してますが,どうでしょう? RT @hiroki_f ローレンツ群の方が幾何学的には簡単でしょうね。@hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 14:30:06
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

情報ありがとうございます。実はそういうことを少し考えています。@hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 13:44:22
Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f スケール不変性のある乱流の話ならば、共形対称性も使える可能性ありますよね。特殊共形対称性もローレンツブーストやガリレイ生成子みたいな側面もあります。昔ポリヤコフ(A.M.Polyakov)あたりが調べていた記憶がありますが文献は知りません。@watahoo_h

2014-12-02 13:41:48
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@hottaqu @watahoo_h なかなか大変そうなはなしですが、私がテーマとしている流体の解析力学との関連のなかで、調べていけたらと思ってます。

2014-12-02 13:31:56
Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f まだ電荷の「独立性」の定義が定まっていないように思えます。まずはそのあたりの概念整理をお勧めします。@watahoo_h

2014-12-02 13:24:24
Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f 数学の方がすでにやっていそうなテーマですね。まずは文献を探されたほうがいいかもしれません。@watahoo_h

2014-12-02 13:22:30
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

ローレンツ群の方が幾何学的には簡単でしょうね。特異な点はやはり[Q,P]=mⅠも同意です。誰かやっていてもよさそうですが、意外と深いテーマなのかも知れないですね。 @hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 13:15:21
Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f 残念ながら、特に知りませんね。ただローレンツブーストLもHと非可換ですよね。もしQとHの交換関係が本質ならばローレンツ群でのLとHの理解を深めるのも手です。ただガリレイ対称性の特異な点はやはり[Q,P]=mⅠのように思えます。 @watahoo_h

2014-12-02 13:11:43
ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

ガリレイ変換の生成子は、量子力学だったら、ハミルトニアンとじゃなく、時間微分も含めたシュレディンガー作用素と交換すると考えるべきなんでないかな。古典力学なら、extended phase spaceを作るとか #多分

2014-12-02 13:09:33
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

ガリレイ生成子Qがハミルトニアンと交換しないというのが、代数を考える際にかなり特異な性質を与えているように思います。ここらへんの話を議論している文献とかしりませんか?すっきり理解したいと思っても、なかなか良い解説をみつけれません。 @hottaqu @watahoo_h

2014-12-02 13:03:59
Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f G=(ガリレイ変換+空間推進+時間推進)という大きな群に対応する環の{Q(ガリレイ生成子), P(運動量),H(エネルギー)}なず代数には、古典レベルでも中心拡大(central extension)が起きていることが原因でしょうね。@watahoo_h

2014-12-02 12:10:47
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

そういうことだから、ラグランジアンの構成のしかたも、並進対称性の時は、時間が陽に依存しないとぐらいでいえて、回転対称性はさらに具体的に構成する。ガリレイ対称性のときは更に具体的にってなかんじになるんでしょうね。@watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 11:09:08
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

同意です。独立であるけど、対等でない。ガリレイ変換はその順序関係でいくと弱いほうに属するのではないかと思います。@watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 11:07:05
Haruki Watanabe @haruki_wtnb

@hiroki_f @hottaqu 角運動量と運動量の例では、それぞれ独立ではあるものの、対等であるようには思えません。角運動量は保存しなけれど運動量が保存する模型は作れますが、その逆はないからです。同様にガリレイも、粒子数保存と運動量保存と独立であるものの対等ではないはずです

2014-12-02 10:58:09
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

僕の結論は、ガリレイ対称性と独立です。そして、ラグランジアンの中に質量と解釈できるものが、保存するとガリレイ対称性が成り立つということです。ただ、そう結論するには、他の対称性を満たすことが前提で、もっとスマートに言えないかと悩んでます。 @watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 10:03:57
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

つまり、ガリレイ変換による保存則は、他の保存則と独立であるかとどうかが、直感的には理解できないです。独立なんでしょうけど、単純な例だと、他の保存則とから導出できるように見えてしまうので、そういうふうに見えてしまうのはなざかと考えてます。 @watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 10:00:20
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

ガリレイ対称性から導出される保存則は他の対称性からは導出できない新たな保存則を課しているのかという疑問もあります。例えば、エネルギー保存と角運動量保存、運動量保存は全く独立ですよね。つまり、他の2つの保存則からは残りの一つは導出できない。 @watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 09:56:57
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

結局、ガリレイ対称性も他の対称性と同じように議論できるので、それ以上、それ以下でもないという結論だとの主張だとおもいますが、やはり、他の対称性と異なり、ハミルトニアンと交換しないなど、少し異質な気がします。 @watahoo_h @hottaqu

2014-12-02 09:53:57
Hiroki Fukagawa @hiroki_f

これと全く同じ議論を過去にしたことがあります。そのときも同じ結論になりました。@watahoo_h @hottaqu なんでHamiltonianと交換しないか実はかなり前から疑問に思っていたのですが、交換しないことで逆に時間発展しないようになっているんですね。

2014-12-02 09:49:54
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