ガリレイ対称性と結びつく保存量

Haruki Watanabe @haruki_wtnb

@hottaqu @hiroki_f なんでHamiltonianと交換しないか実はかなり前から疑問に思っていたのですが、交換しないことで逆に時間発展しないようになっているんですね。とても勉強になりました。

Masahiro Hotta @hottaqu

@watahoo_h 一般に観測量Aが時間の恒量であるという場合（dA/dt=0）、保存すると呼びます。露わに時間ｔが入るような観測量では単にハミルトニアンと交換することが保存することと等価ではありません。Q=mx-tPは保存し、そしてガリレイ変換の生成子です。@hiroki_f

Haruki Watanabe @haruki_wtnb

@hottaqu @hiroki_f 「保存する電荷」というのは少し不正確かもしれません。ガリレイブーストの生成子C_iは「系の対称性」であるにもかかわらずハミルトニアンHと交換せず、[H,C_i]が運動量演算子P_iに比例します。 en.wikipedia.org/wiki/Galilean_…

Masahiro Hotta @hottaqu

自由粒子でなくても、ガリレイー不変なモデルだったらQの定義が変わるだけで保存するネーター電荷は書けますよね。また相対位置にしか依存しないポテンシャルV（x_1-x_2）を加えた場合では、Qの定義も自由粒子と同じです。RT@hiroki_f 二つは"自由粒子だったら"という

Masahiro Hotta @hottaqu

保存するネーター電荷という以上に、何か解釈付けを求められているのでしょうか。例えばローレンツ不変なモデルでのローレンツ変換の生成子M_{01}も保存しますが、この場合の解釈付けはどうされました？RT@hiroki_f 一つはそのQという量に対して解釈をつけれれないこと。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

問題は2つあります。一つはそのQという量に対して解釈をつけれれないこと。二つは"自由粒子だったら"という括弧つきで語られることです。他の対称性はラグランジアンの幾何学的な性質と結びつきます。例えばエネルギー保存だったらラグランジアンは時間に陽に依らないとかです @hottaqu

Masahiro Hotta @hottaqu

@hiroki_f ガリレイ対称性を持つ系で、ガリレイ対称性から出てくる保存則のことですか？ネーター電荷でなにか問題があるのでしょうか？自由粒子だったらQ=mx-tpですよね。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@maophilia ありがとうございます。読んでみます。(ぱっと見でコメント出来るかと思いましたが、良く読まないと分からなそうなため。)

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt 一旦、量子力学で考えると、むしろ理解の役に立つかもしれないphysics.stackexchange.com/questions/5602… ガリレイ変換単体でなく、並進と組み合わせると、質量を含む項が出るのでした

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

ちなみに昨日の物理科の飲み会(現役の教授も参加)でも、ガリレイ変換と並進対称性の違いの本質や、そもそもガリレイ変換で質量は未定義の量なので無関係だなどの議論もあって、問題を正しく定義する必要を感じた。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@maophilia 全ては一度は聞いたことのある単語ですが、脳内で繋がらないです。いつか勉強しておきます。 #予定は未定

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt 代数的にいうと、質量は、Poincare代数やGalilei代数のCasimir作用素で、前者の場合は、P^2。後者の場合は、生成元の一つ。エネルギーや運動量は、どちらの代数でも、これらとは別の生成元をなしています #絶対通じないであろう説明

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

あ、全て分かった。エネルギー保存って言っちゃ駄目なんだ。質量が変わらなくなるんだ。だから質量が保存されるんだ。まあ、相対論を考えれば当たり前だけど。結局それだけの事だな。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

エネルギー保存しかなかったものが、運動量保存と質量保存に分離される ではなく、 エネルギー保存が質量保存に が正しいのか。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

正直言って統計は多分分からん。。。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

某一連のやりとりは、光速を無限にするとローレンツ変換がガリレイ変換に変わり、エネルギー保存しかなかったものが、運動量保存と質量保存に分離されるという認識で合っているのだろうか？(すんません、論文は明日になりそう。しかし専門系の論文は辛そう・・・。それも統計もあると。。。)

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@hiroki_f いや、粒子数が変化するような場合に使える作用を、と考えると難しいという話です。場の理論に対応するのものがあればいいんでしょうね。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu そうですか。ラグランジアン教団員としては、全ての現象に対して、汎関数があって欲しいですが、難しい例もあるのですね。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu まさにその通りです。いろもの物理学者のお済み付きとなって、一安心です。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@hiroki_f ガリレイ変換は物理を変えないから、作用を定数しか変えないはず、という要請を置くと質量保存が導かれる、という流れになるわけですね。筋は通っていると思います。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@hiroki_f う〜ん。ちょっとそれは即答できない。初等力学の話は組み換えが起こらないと面白くないけど、組み換えを起こすような作用って書きづらいですね。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu そうです。不変とは言わずに準不変とでも言うべきでした。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu なるほど、ありがとうございました。これに対応する話を解析力学の文脈ですることはできますか？

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@hiroki_f ああ、まさにそれですね。それだと組み換えが起こって質点の数が変わるような時でも適用できる定理になっているわけです。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu 了解です。丁度同じ内容を送っていました。