ガリレイ対称性と結びつく保存量

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@irobutsu　こういうことですか。(m_1, m_2, v_1, v_2)→(m_1, m_2, v_1+α, v_2+α)　d/dt(m_i v_i)=0　かつ　d/dt(m_i (v_i+α))=0　ならば、d/dt(m_1 + m_2)=0

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata そうですね。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

相対論的な力学で「（空間的）運動量保存則をローレンツ変換するとエネルギー保存則が出る」ってのは有名なお話で、それをあえて非相対論的に逆拡張して考えると、「運動量保存則をガリレイ変換すると質量保存則が出る」のは納得できます。 @hiroki_f

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

おっと、それはチェックします。質問ですが、それは解析力学に読み替えるとどうなりますか？ラグランジアンの時間空間並進対称性があるもとで、さらにガリレイ対称性をラグランジアンに要求するという理解で良いでしょうか？@irobutsu

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata 質量保存・運動量保存・"ガリレイ対称性"は独立でない(前の言い方だと三位一体である)というのと、別に矛盾しないと思いますが

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

ちょっと話は違うのかもですが、初等力学でも「ガリレイ変換する前の系とガリレイ変換した後の系のどちらもエネルギー／運動量保存則が成り立つべし」との要請から、質点群の構成が変わった場合での質量保存則が導けます。「よくわかる初等力学」にも書きました。@hiroki_f

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata 例えば、簡単な例ですが、 L={M(v^2) v^2}/2　 ここで　Mはv^2の関数とするとこれはガリレイ対称性をもちません。ガリレイ対称性を要求するとMは定数でないとならない。それくらいの話です。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata 僕も質量保存則とガリレイ対称性にネーターの定理が関係あるとは言ってません。ラグランジアンが与えられたときに、質量と解釈できる定数が必要だということぐらいです。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata ていうかまぁ、有限自由度だと、質量保存は、自明な前提だし、そこを崩す(崩しうる)のはずるいという気が

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata {P,B}=Mは、単に空間並進とガリレイブーストの間の関係(可換ではないので)の無限小版なので、ネーターの定理は直接関係ないはずです。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

ラグランジアンがガリレイ対称性を持つためには、質量保存則が要求されるという意味は、L=(mv^2)/2+(m'v'^2)/2-U(r-r')と与えられたら、m m'が定数でなくてはならないっていう意味。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata twitter.com/maophilia/stat…

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata すみません、ここでBってなんですか？ラグランジアンがガリレイ対称性を持つためには、質量保存則が要求されるという意味で言いました。ネーターの定理でいう保存量ではないです。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata Bと総運動量P=sum p_i、総質量M=sum m_iは、三位一体{P,B}=Mなので、質量保存・運動量保存・"ガリレイ対称性"は、どいつも残り2つの帰結と言えなくもない？

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

apendixでガリレイ変換について議論しました。質量保存がガリレイ対称性をもつために要求されるって結論になりました。@maophilia @quantymt @Souichi_Murata arxiv.org/abs/1411.6760

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

対称性と弱解の存在の為の必要条件から、エントロピーの方程式、運動方程式を導出 A variational formulation for dissipative fluids in inhomogeneous temperature arxiv.org/abs/1411.6760

Souichi.Murata @Souichi_Murata

ポアソン括弧を見てると、Lie群が頭をよぎるんだよな～

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f 素人意見で良ければ承知いたしました。しかし結局ガリレイ"対称性"って、結局何だろうと疑問に戻り、分からなくなりました。最初に言った運動量と言うのも間違っている気がしてきました。 RT コレに関して文章を書いていて、...その際にはご意見をよろしくお願いします。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f @Souichi_Murata 確かにガリレイ対称性と空間並進対称性は、定義そのものが違いますね。失礼しました。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

しかし物理的な意味が分からん。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

あ、けどガリレイ群ってあるんだ・・・

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

(そもそもガリレイ対称性ってあるんだっけ？と言う疑問に達した。ガリレイ変換は、ガリレイの相対性原理でニュートン方程式が変わらない(と言っても速度を変数とする力があると変わるが)くらいしか意味が無かった気がした。)

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata まぁ、Bが保存量なのと運動量保存とは独立した結果と考えるべきなのだと思います

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata dB/dt=∂B/∂t+{B,H}=(sum_i p_i)+{B,H}=0なので、Bが保存量<=>{H,B}=Pで、tを含む場合ハミルトニアンとPoisson可換でない保存量がありえるのか。誤解してました

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@quantymt @maophilia @Souichi_Murata 実は、コレに関して文章を書いていて、近々公開するかもしれません。その際にはご意見をよろしくお願いします。