ガリレイ対称性と結びつく保存量

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f @maophilia @Souichi_Murata レス、遅くなっており申し訳ありませぬ。帰宅後熟読して必要に応じ回答します。(明日になるかも)

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata そこなんですよね。ハミルトニアンと交換しない可能性があるにしても、想定されるほとんどの問題では交換するように思える。そうじゃない例が一つ作れればいいでしょうけど。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata と思うのですが、なんか嘘である気もする。普通のニュートン力学ならp_i=m_i dq_i/dtなので屁理屈っぽい

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@hiroki_f @quantymt @Souichi_Murata B=sum_i (p_i t-m_i q_i)。d(sum_i p_i)/dt=0なら、dB/dt=sum_i(p_i-m_i dq_i/dt)ですが一般のHに対してp_i=m_i dq_i/dtとは限らない

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@maophilia @quantymt @Souichi_Murata sum_i (m_i q_i + p_i t) 　って　運動量が保存するときは保存すると思うのですが、違いますか？

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

ガリレイ変換に対する保存則だけど、保存則が何かというよりは、ガリレイ対称性をラグランジアンが満たすためには、(mv^2)/2 mは定数というような項が要求されるという結論に達した。

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@Souichi_Murata @quantymt 式がおかしくなってますね、\sum_{i} (p_{i,x} t - m_i q_{i,x})で、微分して整理すると、\sum_{i} (p_{i,x})=const.になりますが、微分しないと、謎の量ですね

Souichi.Murata @Souichi_Murata

@maophilia @quantymt 物理的な意味ってあるんですか? 形式的なものですか?

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt @Souichi_Murata 一応、ガリレイ代数の生成元と関係式です en.wikipedia.org/wiki/Galilean_…

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt @Souichi_Murata で、これはHamiltonianと可換でないので、厳密に言うと、(時間発展で不変な)保存量ではありません。これは、Lorentz boostの場合も同じですが

ヽ|・∀・|ノ @i_am_a_youkan

@quantymt @Souichi_Murata (x方向の)Galilean boostに対応する物理量は、質点系の場合、 \sum_{i} (p_{i,x} t - m_i q_{i,x}) p_{i,x}です。m_i,q_ixはi番目の粒子のx運動量、質量、x座標

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

(結局疑問は解消されず、自然消滅の流れ・・・。暇な時もう少し調べるか。。。)

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@souichi_murata ネーターの定理は解析力学ですが、議論の対象としては、ニュートン(非相対論的な古典)力学なので、そこの疑問(並進対称性・ガリレイ対称性・ネーターの定理の関係)ははっきりさせておきたく。

Souichi.Murata @Souichi_Murata

@quantymt @hiroki_f このあたりの話って、解析力学の話だと思いますよ。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

(何か凄い勘違いか間違いをしているのだろうか？・・・)

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f @souichi_murata 単に私が無学なのかもしれませんが、空間並進対称性とガリレイ対称性の本質的な違いが理解出来ていないです。wikipediaの定義を見る限り同じに感じるのですが、違いってあります？(お恥ずかしい話。。。)

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

(ガリレイ変換ってそもそも何だっけ？と言うところに至った・・・)

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@quantymt @Souichi_Murata いえいえ、ガリレイ対称性は空間並進対称性とは異なるものです。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@souichi_murata @hiroki_f ここでの空間並進対称性は、ガリレイ変換の対称性と思ってok? で、仮にokだと、そこでの保存量は、ネーターの定理で保存される保存量と同じと思ってok?(私は全て同じだと思っています。)

Souichi.Murata @Souichi_Murata

@hiroki_f @quantymt 作用に対する空間並進対称性から運動量保存だったと思います。 時間の並進対称性からはエネルギー保存じゃないかと。

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

@quantymt ネーターの定理が念頭にあります。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f (もしかすると議論が噛み合っていないのかもしれませんが、)ガリレイ変換は空間の慣性系の変換なので、座標系の保存量である運動量が対応すると。。。(もしかして私勘違いしています？)

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f 座標が変換されても変換した慣性系の運動量と相対的な運動量が保存されているのが肝だったと。

高橋誠(MakotoTakahashi) @quantymt

@hiroki_f もうかなり記憶が霞のようになっていて恐縮なのですが、ガリレイ変換の対称性は、座標がy = x + vtで変換してもニュートン方程式が変わらないと言うとこが肝だったと記憶しており、 my'('は時間微分) = mx' +mvで、(続く)

Hiroki Fukagawa @hiroki_f

Conservation of center of momentum en.wikipedia.org/wiki/Noether's… とのことです。これを今消化中です。 運動量保存は、空間並進対称性からでるのではないでしょうか？ @quantymt