Lebesgue可測な集合の階層を巡る探求

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

実数の集合 A が普遍ベールであるとは、任意のコンパクトハウスドルフ空間 X と、X から実数全体への連続関数 f に対し、f^{-1} (A) が X でベールの性質を持つことである。

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位相空間Xの部分集合Pが X でベールの性質を持つとは、X のある開集合 U に対して、P と U の対象差が位相空間 X で小さい、つまり、可算個の X の稠密開集合たちをうまくとってきて、その稠密開集合たちの共通部分が、件の対象差と交わらないようにすることができることである。

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フェング・マギダー・ウディンが示したのは以下のこと：実数の集合 A に対し、A が任意の順序集合に対して absolutely Suslin であることと、A が普遍ベール集合であることは同値になる。

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このようにして、「どのくらい複雑な集合がルベーグ可測になりうるか」という問いから、巨大基数周辺の研究を経て、われわれは普遍ベール集合という概念まで辿り着くことが出来た。そして、巨大基数の存在下で、多くの実数の集合が普遍ベール集合になり、決定的でルベーグ可測になることがわかった。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

では、巨大基数の存在下で、どのくらい複雑な集合が普遍ベール集合になることが示せるだろうか？これについては未だによくわかっていない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

Open question: ウディン基数が非有界に存在し、超コンパクト基数が存在するとする。このとき、任意の Sigma^2_1 (uB) な実数の集合は普遍ベール集合になるか？

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

ここで、実数の集合 A が Sigma^2_1 (uB) とは、ある論理式 \phi と普遍ベール集合 B が存在して、任意の実数 x に対し、"x in A" と "(H_{ω1}, in, B) |= \phi [x]" が同値になることである。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

↓の open question について現在わかっていることは、同じ仮定の下で、存在する超コンパクト基数を δ とすると、2^δ を可算に Levy collapse した強制拡大の中では、↓の open question の結論が成り立っている。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

（さらに、この強制拡大では、L(R, uB) に属する全ての実数の集合が普遍ベール集合になることもわかっている。ここで、uB は普遍ベール集合全体を表す。）ただし、同様の結論が V でも得られるかというのはわかっていない、ということ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

この open question は内部モデルプログラム、Ultimate L Program という集合論のプログラムと大きな関わりがある。同プログラム二つが、現在目指している方向で完成すれば、open question の答えは "No" になる。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

この open question の答えが "Yes" ならば、↓で書いたプログラム二つに本質的な問題があるか、プログラムの進行で本質的に新しい現象が出てくることになる。#誰か解いてくれ

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

このように、普遍ベール集合は、記述集合論だけでなく、内部モデル理論と深いかかわりがある。そのことについては、ここ（togetter.com/li/520594）で少しつぶやいたので、興味のある人はどうぞ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

最後に、普遍ベール集合についての基本文献：1. フェング・マギダー・ウディンの論文：link.springer.com/chapter/10.100…　　2. ラーソンの本：ams.org/bookstore-geti…

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

それでは次の人、お願いします。