一般化じゃんけんについて考えてみた
-
- いいね！1
勝負が付くか、あいこになるか、確率を考えてみる
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian まず、n人が普通のじゃんけんをやって勝敗が付く確率は結構簡単で、(2^n - 2)/3^(n-1)。2人だと2/3、3人でも2/3。その後は4人で51.8%、5人で37%とどんどん減っていく。
2015-04-23 13:17:31
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 5元じゃんけんの場合は、2人だと4/5、3人だと18/25の確率で勝敗が付いて、これは普通のじゃんけんよりもあいこが少なくなる。（3人それぞれ別の手を出しても勝敗が付く事があるのに注意）
2015-04-23 13:22:59
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian ただ、人数が増えると5元じゃんけんは3元じゃんけんよりも勝敗が付きにくくなる。4人で勝敗が付く確率は51.2%で、既に3元じゃんけんの51.9%より低い。
2015-04-23 13:25:10
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 人数が無限大に向かうと、5元じゃんけんで勝敗が付く確率は5×(3/5)^nに漸近する。この3/5が、3元じゃんけんの場合の2/3より小さいので、増えれば増えるほど普通のじゃんけんの方が勝敗が付きやすくなる。
2015-04-23 13:26:35
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 5元より増やしても、同じパターンが出て来る。(2k+1)元のじゃんけんをn人でやると、1回で勝敗が付く確率は[(k+1)/(2k+1)]^nのように減っていく。
2015-04-23 13:33:05
Mamoru Kato
@mkatolithos
3人以上でn元じゃんけんをしたときに勝者が決まるまでの回数の分布っていうような計算もできるんだろうと思った（どこかで発散するのでは？）。
2015-04-23 11:44:04
Satoru Inoue
@Inoueian
普通のじゃんけんでやってみたら結構暴力的だった。2人なら平均1.5回で勝者が決まる。3人だと2.25回。10人ならまだ24.3回なんだけど、20人だと平均1143回必要になるw
2015-04-23 23:27:04
シータ
@Perfect_Insider
@Inoueian k人だとすると、（全員同じ手の確率は低いので無視すると）3^(k-1)/2^k回ぐらい必要なので指数的な増加ですね。
2015-04-23 23:34:01
Satoru Inoue
@Inoueian
.@Perfect_Insider あ、上に書いたのは1人勝者が見つかるまでの回数です。あいこでなくなって人数が減るまでの回数は3^(k-1)/2^kで合ってます。
2015-04-23 23:36:28
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian n人のじゃんけんで勝敗が付く確率は twitter.com/Inoueian/statu… に書いた通りで、あとは勝敗が付いた時の勝者の数の分布が分かれば再帰的に計算出来る。組合せ論の問題。
2015-04-23 23:38:30じゃんけんの無限の可能性！
Satoru Inoue
@Inoueian
これが、今まで話してた5元のじゃんけんの力関係。回転させても同じ図になるので、どの手が有利・不利という事はない。 pic.twitter.com/TkVIcxoqQq
2015-04-24 08:14:22
拡大
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 5つの手の力関係を色々変えてみる事は当然出来るんだけど、どうやってもこれと同じように公平にはならないのは昨日示した通り。 twitter.com/Inoueian/statu…
2015-04-24 08:15:47
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 手が5種類あるじゃんけんを公平にしようとすると、どうやっても陰陽五行のやつと同型になる。簡単なので証明しちゃう。まず、2勝2敗になるように1つの手の力関係を描く。 pic.twitter.com/K29RC2jNRA
2015-04-23 07:50:17
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 5元の場合、他のルールは公平でないだけでなく、ほとんどが「つまらない」ルールになる。他のどの手に対しても勝つ手があってゲームになってなかったり（みんなそれを出すので）、他のどの手にも負けてしまう意味のない手があったり。
2015-04-24 08:17:51
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian 公平ではないんだけど、面白いルールが1つだけ他にあって、それがこの図。他の4つに対しての勝敗を数えると、Aは1勝3敗、Bは3勝1敗、CDEは2勝2敗で、一見すると単純にBが有利でAが不利に見える。 pic.twitter.com/AE5kZEJfXT
2015-04-24 08:19:14
拡大
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian でもよく見てみると、この図はこういう構造になってることが分かる。AはBに勝ち、BはCDEのどれにも勝ち、CDEはどれもAに勝つ。つまり、A、B、CDEの間で三すくみになっていて、Aが不利ということはない。 pic.twitter.com/VeUOkA5nDq
2015-04-24 08:22:10
拡大
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian CDEだけに注目すると、この3つの間にも三すくみの関係がある。 pic.twitter.com/pKFTQAgcBz
2015-04-24 08:23:14
拡大
Satoru Inoue
@Inoueian
@Inoueian このルールは結構簡単に実現出来る。Aはパー、Bはグーとして、チョキの出し方を3種類用意する。例えばCは指2本、Dは指3本、Eは指4本。まず普通のじゃんけんで勝負を決めて、2人ともチョキを出した場合には指の本数で勝敗を決める、というのがこのルール。
2015-04-24 08:25:35
Satoru Inoue
@Inoueian
Aは1勝3敗、Cは2勝2敗なのに、AはCの3倍くらいの頻度で出すべきなんだよねぇ。 twitter.com/Inoueian/statu…
2015-04-24 09:15:59