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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
関数f:R→Rはx_0以外の点において微分可能であり、x→x_0でdf／dxが収束するとする。このとき、f(x_0)の値を適切に定める（変更する）ことによって、fがx_0においても微分可能となるようにすることは必ずできるか？
2015-04-30 17:52:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
いっぽう、ある点で微分可能なのにその点で導関数が不連続になることもある。というわけで、ある点の周囲における導関数の様子と、その点での微分可能性とは、（少なくとも直接的には）無関係であることが分かった。
2015-04-30 18:08:04
嘉田 勝
@kadamasaru
. @y_bonten @bioshino それでは「f の x_0 への左極限と右極限が一致」を条件として追加すると？ となると、微積分学の演習問題にちょうどよさそう…
2015-04-30 18:09:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
f(x_0)の値をその左・右極限値（つまり極限値）に一致させたときに限り、連続になる。連続でなければ微分不可能だから、それ以外に道はない。そこまでは分かるんだけれど……
2015-04-30 18:12:16
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
f '(x)にx_0での値を埋めたものをg(x)として、勝手な定数a(≠x_0)をとってf(x_0)＝f(a)＋∫_a ^x g(t)dtとしてf(x)のx_0における値を埋める……肝心のf '(x_0)＝g(x_0)が示せない(^^;)簡単なことを見落としている？
2015-05-01 12:31:28
TS
@ta_shim_at_nhn
@y_bonten g(x) が積分可能なことを使っていますが大丈夫ですか? f(x_0) の値を右極限と左極限で埋めた連続関数が x_0 で微分可能ということを、平均値の定理を用いて証明するというのが、よく見る証明です。
2015-05-01 13:02:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
連続関数は、導関数の極限値が存在する点において微分可能である - y_bonten's blog y-bonten.hatenablog.com/entry/2015/05/…
2015-05-01 17:34:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@bioshinoさん、 @kadamasaruさん、 @ta_shim_at_nhnさんのご教授により、ようやく証明を書くことができました。ありがとうございました。おかしなところがあればご指摘いただければ幸いです。
2015-05-01 17:38:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 右極限だけを考える。導関数の極限値をとるときは、各点で右端を左端に限りなく寄せたのち、左端をx_0に限りなく寄せる。いっぽう（この状況で）x_0における微分係数を考えるときは、左端を限りなくx_0に寄せたのち、右端を左端に限りなく寄せる。
2015-05-02 09:03:48
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 極限をとる順序の異なった両者が一致する保証は全くなく、いかにも反例がありそうな話だ。しかし平均値の定理によって一致することが分かった。平均値の定理は完備性と同値であり、完備性からもっと直截に示せる可能性が、平均値の定理によって隠蔽されているかもしれない。
2015-05-02 09:04:40
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「導関数が不連続な点で微分可能になることがありうる」とは言っても、自分の知っている例（(x^2)sin(1／x)）は導関数の左極限も右極限も存在しない場合だけだ。きちんと両者が存在するのに一致しない場合で、微分可能になることはありうるだろうか。
2015-05-02 09:58:33
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
ありがとうございます。半分をf(x)＝0に変えればいいかな RT 鍵: その例を改変すると「一方の極限は存在し他方の極限は存在しないが微分可能」な例も得られますね
2015-05-02 10:06:32
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten あぁそうか、ブログの証明と同じ議論で、導関数の右極限が存在するときは変化率の右極限もそれに一致し、左も同様だから、導関数の左右極限がともに存在して異なるときは微分不可能だ。
2015-05-02 10:22:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
（まとめ）ある点において：関数が連続で、導関数の左極限と右極限がともに存在するという前提のもと、「導関数の左右極限が一致する」「もとの関数が微分可能である」「導関数が連続である」はすべて同値。しかし、導関数の左右極限の少なくとも一方が存在しないときには、微分可能かもしれない。
2015-05-02 10:40:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「『導関数が連続である』の否定」だと、その点で微分不可能なケースを含めてよさそうだけれど、「導関数が不連続である」だと、微分可能性は前提になってしまいそうで困るな。
2015-05-02 10:57:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
あれ？これってつまり、何かの関数の導関数で、「一端が●、多端が○の階段関数」みたいなことは決して起こらないってこと？
2015-05-02 11:01:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
ゴール見えてきました…… RT 鍵: 左右のどこでも微分係数があるのに左右で極限が異なると，その部分が"折れ目"になってしまうので RT 鍵: 試しに積分してみては
2015-05-02 11:07:49