2015年8月7日

【ガチ学習シリーズ】数学とはこういうものです②~~なぜ数学を学ぶのか?

今回は「数学を学ぶ理由」についてまとめてみました。では必要であるとして、どうやって勉強するかについては以下のまとめを参考にしてください。 ガチ学習シリーズまとめ→http://togetter.com/li/857550
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まとめ ガチ学習シリーズまとめ どうやって勉強したら良いのか?なぜ勉強するのか?などを、私なりに記述したまとめです。 16101 pv 84 62 users 5
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【なぜ数学を学ぶのか①】 ちょっと今回は抽象的な話が多いです。意味が分からない文章や語句については、適宜辞典によって確認しながら読むことを推奨します。質問は歓迎します。 pic.twitter.com/IHyzglYjHh

2015-08-07 17:32:43
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【なぜ数学を学ぶのか②】  義務教育の算数・数学で学ぶのは、抽象化と一般化、事象の定量化、ルール、記述方法とその使い方です。  これを身につけることにより、論理的思考力や処理能力、記述力が得られ、他の分野に渡って、より高度な概念を修得するための素地となります。

2015-08-07 17:33:04
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【なぜ数学を学ぶのか③】  例えば、比や割合の概念などは、実際の値を「ある特定の値を基準にすること」によって「抽象化」しています。少数や分数は、これを「一般化して」記述するために都合が良いものです。

2015-08-07 17:33:18
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【なぜ数学を学ぶのか④】  一般化の例を挙げましょう。  例えば「6つのりんごを二人で平等に分ける」には6÷2=3と計算して「一人3つずつ」であると求めます。  また、「ホールケーキを二人で平等に分ける」には、1÷2=1/2と計算して「一人1/2ホールずつ」であると求めます。

2015-08-07 17:33:40
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【なぜ数学を学ぶのか⑤】  このように「分ける」という処理は「人数で割る」という一般化によって、いつでも同じように処理できます。  この「いつでも」というのは非常に重要で、使えないように見えても、本当にいつでも使えるのです。それを保証してくれるのが「証明」という手続きです。

2015-08-07 17:33:56
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【なぜ数学を学ぶのか⑥】  「事象の定量化」とは、何かの度合いを表す「」という概念を「数値」で表現し、これを「数字」で書き表すことです。  例えば、ある人の真の体重が「数」であるとすると、体重計に乗って計測した結果、現れるのが「数値」です。

2015-08-07 17:34:29
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【なぜ数学を学ぶのか⑦】  ここでこの体重を「68.3kg」と記述すると、これが体重の「数値」を「数字」で表現したことになります。こうすることによって、他の人と体重を「比較」したり、BMI値を求めることによって肥満度を得たりという、定量的な分析ができるようになります。

2015-08-07 17:34:46
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【なぜ数学を学ぶのか⑧】  定量化した数値は客観的に取り扱うことができます。数値に「ルール」を適用することによって誰が処理しても同じ結論がでるようになります。ただし、そのルールの「使い方」が習得できていないと、同じ結論になりません。計算は、数値に対するルールの適用方法の1つです。

2015-08-07 17:35:07
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【なぜ数学を学ぶのか⑨】  初等数学(いわゆる算数)の大半が計算の練習に費やされるのは、訓練しないと「使い方」が身につかないからです。そして、これが苦もなくできるようになっていないと、より高度な概念を学習する時に、そちらに集中できません。

2015-08-07 17:35:22
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【なぜ数学を学ぶのか⑩】  四則演算や文字式の扱いなどで四苦八苦していると、関数や方程式を処理する時に同値変形がスムーズに進められません。  関数の処理がうまくできないと、加速度、速度、位置と時刻の関係で苦しむことになります。

2015-08-07 17:35:40
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【なぜ数学を学ぶのか⑪】  ここで「定義」が重要となります。定義とは、言葉について正確な意味や解釈を他人と共有するために行う作業です。★定義が曖昧だと、いかなる議論も意味を成さない★し、定義が異なると結論も異なります。

2015-08-07 17:35:55
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【なぜ数学を学ぶのか⑫】  議論が(結果的に)できない人の多くは「人によって言葉の定義が異なることがある」という単純な事実を認識しておらず、またそれが招く結果も理解していないので、定義(とその扱い)が曖昧であるケースが多いです。

2015-08-07 17:36:34
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【なぜ数学を学ぶのか⑬】  よって、定義を訊ねて「ググれ」と答える人との議論は、時間の無駄だから無条件で即座に打ち切ることを推奨します。  次に「論理的思考」について。これが「正しく」できていない人は結構多いです。

2015-08-07 17:36:49
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【なぜ数学を学ぶのか⑭】  例えば「p=q」(pはqである)と「p→q」(pならばqである)は全然違うもの。前者は同値で後者は条件ですが、後者を同値だとして扱ってしまうとよろしくない「条件」は、自明なもの(定義通りなもののこと)以外は証明が必要です

2015-08-07 17:37:08
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【なぜ数学を学ぶのか⑮】 今ネット上でバズっている政治系の話題の大半が、この部分を「意図的に」ボカしています。が、例示すると変な人が寄ってきて、それこそ炎上しそうなので避けておきます。 「包含」も重要な概念ですが、これの訓練としては中学校で学ぶ「四角形の分類」が非常に良い例です。

2015-08-08 04:41:19
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【なぜ数学を学ぶのか⑯】 しかし、議論の時に語句の定義を怠ると、この包含関係を適切に使うことができません。といった具合で、語句を切り離して論理学をかじると、論理的思考で非常に楽ができますが、残念ながら記号論理学は高校で履修することになっています。

2015-08-07 17:38:12
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【なぜ数学を学ぶのか⑰】 最後に「手順」。四則演算における筆算が、最初に学ぶ「手順」ですが、学年が上がるに連れて、より複雑な「手順」を学ぶようになります。小学校で学ぶ最も複雑な手順は「割り算の筆算」ですが、この「手順」による処理は、いくつもの重要な要素を持ちあわせます。

2015-08-08 04:41:45
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか⑱】 例えば「手順通りにすれば必ず正答に辿り着くことが保証されている」ことです。 また「手順の処理には、一切の創意工夫が必要ない」のです。手順を覚えてそれを正しく使う訓練は、高度化した現代社会において思考・判断・処理を行う際に大変重要です。

2015-08-07 17:38:58
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか⑲】 これは「手順」を「アルゴリズム」と言い換えるとその重要性が見えてきます。  以上、数学の必要性についてまとめてみました。雑な結論を出すと、数学を学ぶことの本質は「情報の扱い方と頭の使い方」にあります。

2015-08-07 17:39:14
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか⑳】 それゆえ、ある程度の数学的素養も持つことのメリットは「140n文字」程度の文章で語り尽くすことはできません。  高校までに履修する数学で挫折した人は、以上に述べたことのどこかに躓きがあると考えられます。

2015-08-07 17:39:40
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか㉑】  やり直しをしたい場合は、小学校の算数の範囲から「自分がどこで躓いたのか」を突き止めていくと良いでしょう。義務教育の範囲は「義務」と名付けられているだけあって、非常に教育的です。つまり「順番に学んでいくのが一番良い」ようになっています。

2015-08-07 17:39:57
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか㉒】 特に数学は積み上げ式であって「前の方で学んだことを使って新たな問題に挑戦する」ことになるので、どこかで躓いていると、そこから先で崩壊していきます。復習するなら「できないところから」やるのが良いのです。

2015-08-07 17:40:29
Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets

【なぜ数学を学ぶのか㉓】 勉強の進め方についてはtogetter.com/li/857550などを参照してください。

2015-08-07 17:40:48

コメント

三塚ハル @mtkharu3 2015年8月7日
傲慢を承知で言えば 「数学を学んだ人間は学ばないデメリットを理解できる」が 「数学を学んでない人間は数学を学ぶ意味がわからない」 という非対称構造があるんだよなあ……。
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Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets 2015年8月7日
仰るとおりです。現状をとても良く表現していると考えます。そのギャップを少しでも埋められないかと始めたのが、今回の企画なのです。
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三塚ハル @mtkharu3 2015年8月7日
私はとても気が短いので「やらずに理解はできんのだからぐだぐだ言い訳せんでやれ!」となってしまいますねw一応「古代ギリシャから歴史の勝ち組が2600年間学んできた」と言ってますが
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Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets 2015年8月7日
中身を知らずに要不要の判断を下して「こんなもの必要ない」と文句を言ってくる人のなんと多いことか。
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takehikom @takehikom 2015年8月7日
小学校で学ぶ最も複雑な手順は「エラトステネスのふるい」、には同意しかねます。わり算の筆算(たてて、かけて、ひいて、おろす)はいかがでしょうか
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takehikom @takehikom 2015年8月7日
それと、四角形の包摂(包含)は中学校です。http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/01/05/1234912_005.pdf#page=50 小学校では「弁別」(いろんな図形を示しておいて、そこから、正方形、長方形、…を選ばせる)だと思います
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森 俊介 @i8u42b10me4u 2015年8月8日
昔若い子から「数学なんてやって社会で役立つのか?」と聞かれ、「計算問題は『マニュアル内容を理解した上で、その手順通りに注意深く取り組み失敗せず作業を進める練習』になる。」「応用問題は『問題の解決に当たり、目の前に与えられた条件(環境)を上手く利用して論理的に筋の通った(説得力の有る)過程を経て最終的に解決に至る、その道筋の順序立てを考える練習』になる。」と説明したらかなり納得してもらえた事が有りました。
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Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets 2015年8月8日
@takehikom ありがとうございます。訂正しておきます。
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Bp@THEXDER勝手に移植の人 @beautyplanets 2015年8月8日
@i8u42b10me4u 仰るとおりです。今回のまとめは、それを展開した格好になっているかと考えます。
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Udagawa_Jitsuo @udajitsu 2015年8月8日
>『議論が(結果的に)できない人の多くは「人によって言葉の定義が異なることがある」という単純な事実を認識しておらず、またそれが招く結果も理解していない』『よって、定義を訊ねて「ググれ」と答える人との議論は、時間の無駄だから無条件で即座に打ち切ることを推奨します』全くの同意。「侵略」とかいう、定義に困る言葉をどうしてもとある所に明記させたがってる手合いとかね…
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kizitora @anyatoraneko 2015年8月8日
なお高校までの数学では集合、極限、微分などの定義はぼんやりとしたものでごまかすもよう
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孤独犬ポチ @kodokuinu 2015年8月8日
mtkharu3 足し算引き算掛け算割り算しか理解出来ない数学ド低能の立場から言わせてもらうと、「数学を勉強しても全く理解出来ないので学ぶ意味も価値も無い」むしろ数学により被った精神的苦痛を思えば害悪以外の何物でもない。
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孤独犬ポチ @kodokuinu 2015年8月8日
mtkharu3 やっても完全理解不能状態だったから無駄以外の何でもなかった。
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孤独犬ポチ @kodokuinu 2015年8月8日
beautyplanets ×中身を知らず ○中身が理解出来ない。それだけならまだしも無理矢理やらされて精神に凄まじい苦痛とストレスを味わわされれば当たり前だ。数学は数学の才能を持った特殊な人間しか理解出来ないのだから、数学の才能を持った特殊な人間だけで勝手にやってて欲しい。自分のような数学の才能ゼロで数学の理解が不可能な人間にまで押し付けるのは精神的虐待
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せとか @setoka32 2015年8月8日
ただし大学で数学を極めようとすると人生詰むという罠
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せとか @setoka32 2015年8月8日
一番実社会で分かりやすく役に立ちそうな統計学を高校でやらないのがいけない すぐ無意味な平均値とかよくわからないグラフに騙される人が多い
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nekosencho @Neko_Sencho 2015年8月8日
車が運転できないって人が車なんて意味ないって言ってるようなもんだがね。車を運転できない人でも他人の運転する車に乗せてもらったり、トラックなどで運んだ商品を買ったりしてるわけだ。数学も、全然わからない人でも、数学の恩恵はたくさん受けてるわけだよ
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孤独犬ポチ @kodokuinu 2015年8月8日
数学は全く理解出来ないが、それ故にたった一つだけ理解出来た事がある。数学を理解出来る人間は理解出来るが、理解出来ない人間は絶対に理解出来ない。数学の才能が有るか無いか、この単純明快な差で全てが決定する。例外は無い。数学の出来ない人間が努力しても、空飛ぶ雲を掴めないように、星に手が届かないように、無駄以外の何でもない。
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m @moriyatomo 2015年8月8日
大学工学部でε-δ論法は必要ないと思います。巨人の肩の上に立つだけで十分です。
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亜山 雪 @ayamasets 2015年8月9日
数学ほど役に立つ学問は他にないぞ。
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しゃこG @megaputemame 2015年8月9日
直接議論学教えた方がいいような気がする。簡単な数学くらいまでは必要だろうからと代用しちゃったんかな。
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亜山 雪 @ayamasets 2015年8月9日
でも国語力が貧弱だと、数学は伸びないよ。
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語られざるもの、悉若無/オルテガ的消費者の叛逆によせて @L_O_Nihilum 2015年8月9日
全体的にその通りだが『順番に学んでいくのが一番良い』だけちょっと違和感。ニッポンモダンガッコの教育システムで端折られ追加されの波にのまれて「ゆとり」化され学習テンポ狂わされた経験ある身としては学校教育のやりかたをただ順番どーりやってりゃいいってのはダウトに見える。他の習い事や塾でその穴場を埋めンとさんすう数学はできても「この計算ができたことでなにが分かり何に便利なのか」等が結びつかない気がするで。
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三塚ハル @mtkharu3 2015年8月10日
setoka32 「最も役に立つ統計を早くやらんのが悪い」という意見があるが、正規分布の計算で必要なガウス積分を大学1年生より下の学年でやらせるのはどう指導要領いじっても厳しいし、中心極限定理の証明どーすんだっていう問題があるんですよねえ。
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frisky @friskymonpetit 2015年8月10日
お、おう…「なぜ数学を学ぶのか」というから大学レベルを想定していたら算数の話だった… ところで、カーネマンが、子供に教育すべき科目として「確率統計」を挙げてた。確率統計は人間の直感に反する(が正しい)結論を引き出すので、感覚では絶対に理解できない。基礎的な教育を受けることでこれを理解できるようになるのはすごいメリットとして主張できるんじゃないか。
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かえでこ @KaedekoSakura 2015年8月14日
数学があったことによって一般化された「四則演算」とかを使うだけの側は、数学関係ないんだよな。そういうのをごっちゃに語るから、算数から数学への意識のコンバートが出来なくて、苦しむ人が増えるんじゃないかと思うんだよね。
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かえでこ @KaedekoSakura 2015年8月14日
算数と数学は、Excelの使い方と、Excelの作り方くらいに違いがありそうに思う。IT関連でも、プログラムはもっと早く・深く教えるべきって提唱する人が居る。でも、そこに必要なのは「なぜ」という理由じゃなくて「学ぶことの楽しさ」じゃないかね。
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月8日
mtkharu3 質問です。初等幾何は必要ですか?初等幾何は骨董品で趣味でやればいいという人がいますが、中学・高校入試に出題されています。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月9日
sigesige00 あなたが、何らかの理由でそれについて悩んでいるのか、それとも社会一般に対してどうやってその正しさを主張すればいいのかで悩んでいるのかでどう答えたらいいかは違います。なぜそのような質問をしたのですか?
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月9日
mtkharu3 正反対の意見を聞いたからです。「初等幾何なんて現代数学では何の役にも立たないから教育からも排除すべき」という意見と「初等幾何はいつの世でも大事です」という意見(どちらも数学で博士)を聞いたからです。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
sigesige00 長くなりますので、少しずつ区切って投下します。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
sigesige00 まず、数学では19世紀に「数とは何か?」っていう問いなどの基礎的な問題が徹底的に叩き直され、現代数学の基礎が成立しました。なので現代数学の「数」や「図形」はもはや日常的に使っている「数」や「図形」とは無関係な概念として成立しています。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 また、数学の歴史に名前を残すような数学者は中学校入るくらいの時期にはその時代の大学1年生くらいのレベルには手をつけていることが多いです。もちろん例外もいますが。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 20世紀になってあらゆる学問的知識は爆発的にその量を増やしました。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 これらの事情を勘案すると「うるせー、とにかく時代の最前線の数学と戦ってすげー発見する人間を育てるんじゃー!」って鼻息が荒い人であればさっさと現代数学に入れ!と主張されるでしょう。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3初等幾何を学校で全ての人間に教える、ということはプラトンという人がアカデメイアという学校で実践しました。つまり2600年という圧倒的安定感があり、(プロセスはどうあれ)そこから続く学問的伝統を持った欧米が産業革命以降その圧倒的パワーで世界をリードしてきたという覆せない現実・実績があります。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 このような実績がある以上、初等幾何を教育から外すというのは明らかにリスキーだと言えます。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 また、初等幾何をやめていきなり現代化されたユークリッド幾何学をやるぞと線形代数をやって果たして大丈夫なのかという不安があります。なにせ前述の通り「現代化」されているのでそのようなことを教育でやって子供たちがついてこられるかはわかりません。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 そうなると、初等幾何をはずすなんてとんでもない、という結論になります。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
mtkharu3 ここまで書いてて気づいたのですが、もしかして現代数学肯定派が色々目先の問題で苦労してる若い人で、一方初等幾何肯定派がいろいろ経験を積んで、良くも悪くも伝統の重みというものを知った年配の方ではないかという話を思いつきました、いや単なる思いつきですよw
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月10日
sigesige00 以上「初等幾何は必要か否か」という問題について自分なりに考えてみました。
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月10日
mtkharu3 確かにそういう感じです。「初等幾何なんて現代数学では何の役にも立たないから教育からも排除すべき」といった人は若いポスドク、「初等幾何はいつの世でも大事です」といったのは定年間近の教授(情報工学)です。 なお、こんな本が出ています。 現代に活かす初等幾何入門 2003 一松 信 現代の初等幾何学 1988 赤 摂也
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月12日
mtkharu3 これを見てください。http://igakubu.info/bentugiri/ こんなものが大学入試でも役立ってしまうというなら、初等幾何はむしろ有害とすら言えるのではないでしょうか?
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月12日
sigesige00 そのテクニックで解ける穴埋め問題なら、出した大学がアホである。記述なら、そのテクニックで経過をすっ飛ばして答えだけ書けば減点対象だし、きちんと記述で過程を書ければそれは「初等幾何が理解できている」ことに他ならないので点数を与えることに何も問題はない。結論として「記述式の問題を課さない・記述式が全く解けないまま大学への入学を許容する」ことが問題の本質だと思いますね。
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月12日
mtkharu3 それとある数学教授の「ゆとり教育」に対する感想です。「数学においては、学習は量より質である。基礎から考えて理解することが大切な分野のために、非本質的な部分を切り捨てて全体の量を減らすのは正しい。だが、実際に実施された『ゆとり教育』は、ただ量を減らしただけで、重要な分野が切り捨てられた。質を上げずに量だけ減らせばそりゃあ学力低下になる。間違った『ゆとり教育』をやめて、正しい『ゆとり教育』を」とのことです。どう思われますか?
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月12日
個人的な私怨になりますが、ゆとり教育、というかその前からあった加熱する大学受験問題への回答として「学校の勉強(母国語古典数学自然科学歴史外国語))は役に立たないからやらなくてよろしい」という極めて有害な言説をメディアがばらまいたのがゆとり教育の問題でしょう。最近は回復しつつあるものの、ゆとり教育の実施によって学習時間がゼロの子供が増えたというのは学習時間調査から明らかになっています。 sigesige00
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月13日
mtkharu3 学習時間がゼロの子供が増えたきっかけのひとつはゆとり教育だったかもしれませんが、根本的な理由はやはり新自由主義化・格差社会でしょう。かつて努力して大学を出ればそれなりに豊かになれた時代と違い、衰退資本主義では格差拡大と貧困化が進むばかりです。そして子どもたちも「勉強したって豊かにはなれない」ことを知っているから勉強しない。そして教育格差により格差拡大・固定化がますます進む。まさに資本主義の末期症状です。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月13日
数学に関して言うなら、学習の質が量を上回るのは事実ですが、前提として「質の高い学習を行うための時間」が必要。なので最低限の学習時間を何とか確保せんといかんのですが、ゆとり教育で学習時間がゼロになり全て吹っ飛んだ、と言ったところでしょうか。(どの学力層の子供を相手にするかでもう少し事情は変わります) sigesige00
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月14日
mtkharu3 確かに学歴社会や受験戦争に対する批判には正当なものもありましたが、「学ぶことはよいことだ」という価値観が失われてしまったことは大きいですね。ガリ勉することは格好悪いことだとか、テレビや漫画などで刷り込まれてしまった感があります。もちろんその責任は無意味に難しい受験勉強もあったのですが。無駄に難しい受験数学とか、狂気の沙汰のような小学校・中学校のお受験。
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月14日
mtkharu3 確かに小学生の時点ですでに理解力・学習力には差があります。家庭環境も大きいのでしょうが…子どもに学習力をつけさせる力が弱い親(特に貧困層)のために、3歳くらいから義務教育にして学ぶ習慣を付けさせるのもいいでしょう。なお、中等教育以上なら、学ぶ力が高い生徒は週3日授業のように授業を減らして自主性にまかせるのもいいかもしれません。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月15日
…………私は小学校受験は反対ですが、基本的に受験勉強・ペーパーテスト至上主義陣営の人間ですからね sigesige00
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sigesige00 @sigesige00 2016年4月22日
mtkharu3 絶対評価はいいですが、相対評価はどうしても学問の本質を歪めるとおもいます。紹介した中学入試テクニックのように。秋山仁さんについてこういう意見がhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1346210519/198n 妙に受験数学や数学オリンピックなど人と争うような数学にこだわりを持って、それが是であるように世の中に伝えているのが引っかかる…却って数学嫌いを増やしているような気がするし、世の中の数学に対する認知を歪めているような。
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三塚ハル @mtkharu3 2016年4月22日
他に目標ないからね、仕方ないね。嫌なら大学レベルの実数論とかに中高生が手を出しても受け入れられる親・世論・中高教員を育てるのが先じゃない?sigesige00
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sigesige00 @sigesige00 2016年10月12日
mtkharu3 文学部中退で数学を教えている栗田哲也さんは「おそらく、中学入試なんてなければ、日本の子供の論理的能力、洞察力はもっと伸びている」と主張されてます。(『数学に感動する頭をつくる』36頁)
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sigesige00 @sigesige00 2017年2月1日
mtkharu3 長岡亮介『数学再入門』(日本評論社2014)は、元は放送大学のテキストですが、内容は次のようになっています。式・数・方程式と不等式・関数・指数対数・三角関数・解析幾何・ベクトル・場合の数・確率・数列・数学的帰納法・微分・積分・微分方程式。ということで、長岡先生も初等幾何は不要と考えておられるでしょう。
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文学士まん @Type1Error1 2018年12月3日
setoka32 随分と前のまとめだけど、これは本当に同意 特にアウトライアーに正規分布をぶち壊されてるデータの平均ほど価値のないものはない(平均年収など) そして、いいまとめでした ありがとうございます
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