【ガチ学習シリーズ】数学とはこういうものです②～～なぜ数学を学ぶのか？

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【なぜ数学を学ぶのか①】 ちょっと今回は抽象的な話が多いです。意味が分からない文章や語句については、適宜辞典によって確認しながら読むことを推奨します。質問は歓迎します。 pic.twitter.com/IHyzglYjHh

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【なぜ数学を学ぶのか②】 　義務教育の算数・数学で学ぶのは、抽象化と一般化、事象の定量化、ルール、記述方法とその使い方です。 　これを身につけることにより、論理的思考力や処理能力、記述力が得られ、他の分野に渡って、より高度な概念を修得するための素地となります。

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【なぜ数学を学ぶのか③】 　例えば、比や割合の概念などは、実際の値を「ある特定の値を基準にすること」によって「抽象化」しています。少数や分数は、これを「一般化して」記述するために都合が良いものです。

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【なぜ数学を学ぶのか④】 　一般化の例を挙げましょう。 　例えば「６つのりんごを二人で平等に分ける」には6÷2=3と計算して「一人3つずつ」であると求めます。 　また、「ホールケーキを二人で平等に分ける」には、1÷2=1/2と計算して「一人1/2ホールずつ」であると求めます。

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【なぜ数学を学ぶのか⑤】 　このように「分ける」という処理は「人数で割る」という一般化によって、いつでも同じように処理できます。 　この「いつでも」というのは非常に重要で、使えないように見えても、本当にいつでも使えるのです。それを保証してくれるのが「証明」という手続きです。

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【なぜ数学を学ぶのか⑥】 　「事象の定量化」とは、何かの度合いを表す「数」という概念を「数値」で表現し、これを「数字」で書き表すことです。 　例えば、ある人の真の体重が「数」であるとすると、体重計に乗って計測した結果、現れるのが「数値」です。

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【なぜ数学を学ぶのか⑦】 　ここでこの体重を「68.3kg」と記述すると、これが体重の「数値」を「数字」で表現したことになります。こうすることによって、他の人と体重を「比較」したり、BMI値を求めることによって肥満度を得たりという、定量的な分析ができるようになります。

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【なぜ数学を学ぶのか⑧】 　定量化した数値は客観的に取り扱うことができます。数値に「ルール」を適用することによって誰が処理しても同じ結論がでるようになります。ただし、そのルールの「使い方」が習得できていないと、同じ結論になりません。計算は、数値に対するルールの適用方法の１つです。

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【なぜ数学を学ぶのか⑨】 　初等数学(いわゆる算数)の大半が計算の練習に費やされるのは、訓練しないと「使い方」が身につかないからです。そして、これが苦もなくできるようになっていないと、より高度な概念を学習する時に、そちらに集中できません。

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【なぜ数学を学ぶのか⑩】 　四則演算や文字式の扱いなどで四苦八苦していると、関数や方程式を処理する時に同値変形がスムーズに進められません。 　関数の処理がうまくできないと、加速度、速度、位置と時刻の関係で苦しむことになります。

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【なぜ数学を学ぶのか⑪】 　ここで「定義」が重要となります。定義とは、言葉について正確な意味や解釈を他人と共有するために行う作業です。★定義が曖昧だと、いかなる議論も意味を成さない★し、定義が異なると結論も異なります。

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【なぜ数学を学ぶのか⑫】 　議論が（結果的に）できない人の多くは「人によって言葉の定義が異なることがある」という単純な事実を認識しておらず、またそれが招く結果も理解していないので、定義(とその扱い)が曖昧であるケースが多いです。

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【なぜ数学を学ぶのか⑬】 　よって、定義を訊ねて「ググれ」と答える人との議論は、時間の無駄だから無条件で即座に打ち切ることを推奨します。 　次に「論理的思考」について。これが「正しく」できていない人は結構多いです。

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【なぜ数学を学ぶのか⑭】 　例えば「p=q」（pはqである）と「p→q」(pならばqである)は全然違うもの。前者は同値で後者は条件ですが、後者を同値だとして扱ってしまうとよろしくない。 「条件」は、自明なもの(定義通りなもののこと)以外は証明が必要です。

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【なぜ数学を学ぶのか⑮】 今ネット上でバズっている政治系の話題の大半が、この部分を「意図的に」ボカしています。が、例示すると変な人が寄ってきて、それこそ炎上しそうなので避けておきます。 「包含」も重要な概念ですが、これの訓練としては中学校で学ぶ「四角形の分類」が非常に良い例です。

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【なぜ数学を学ぶのか⑯】 しかし、議論の時に語句の定義を怠ると、この包含関係を適切に使うことができません。といった具合で、語句を切り離して論理学をかじると、論理的思考で非常に楽ができますが、残念ながら記号論理学は高校で履修することになっています。

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【なぜ数学を学ぶのか⑰】 最後に「手順」。四則演算における筆算が、最初に学ぶ「手順」ですが、学年が上がるに連れて、より複雑な「手順」を学ぶようになります。小学校で学ぶ最も複雑な手順は「割り算の筆算」ですが、この「手順」による処理は、いくつもの重要な要素を持ちあわせます。

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【なぜ数学を学ぶのか⑱】 例えば「手順通りにすれば必ず正答に辿り着くことが保証されている」ことです。 また「手順の処理には、一切の創意工夫が必要ない」のです。手順を覚えてそれを正しく使う訓練は、高度化した現代社会において思考・判断・処理を行う際に大変重要です。

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【なぜ数学を学ぶのか⑲】 これは「手順」を「アルゴリズム」と言い換えるとその重要性が見えてきます。 　以上、数学の必要性についてまとめてみました。雑な結論を出すと、数学を学ぶことの本質は「情報の扱い方と頭の使い方」にあります。

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【なぜ数学を学ぶのか⑳】 それゆえ、ある程度の数学的素養も持つことのメリットは「140n文字」程度の文章で語り尽くすことはできません。 　高校までに履修する数学で挫折した人は、以上に述べたことのどこかに躓きがあると考えられます。

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【なぜ数学を学ぶのか㉑】 　やり直しをしたい場合は、小学校の算数の範囲から「自分がどこで躓いたのか」を突き止めていくと良いでしょう。義務教育の範囲は「義務」と名付けられているだけあって、非常に教育的です。つまり「順番に学んでいくのが一番良い」ようになっています。

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【なぜ数学を学ぶのか㉒】 特に数学は積み上げ式であって「前の方で学んだことを使って新たな問題に挑戦する」ことになるので、どこかで躓いていると、そこから先で崩壊していきます。復習するなら「できないところから」やるのが良いのです。

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【なぜ数学を学ぶのか㉓】 勉強の進め方についてはtogetter.com/li/857550などを参照してください。