グレブナー基底は、基底なのか？

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【グレブナー基底は、基底なのか？①】 まずは、次の問題に答えるぶなっ！ 問題「グレブナー基底は（イデアルの）基底であるか？」 ①基底である ②基底でない ③グレブナー基底ってなんだよ ①だと思う人はリツイート、②だと思う人はふぁぼ、③だと思う人はブロックするぶなっ！

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【基底なのか？②】 答えの前に、今日知っているといい前提知識を紹介するぶな！ だいたい イデアル→bit.ly/1GOnfjP 先頭項→bit.ly/1KZEhPP 割り算アルゴリズム→bit.ly/1OlvxY9 ぶな！

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【基底なのか？③】 では、まずグレブナー基底の定義を確認するぶな！ 多項式環K[x_1,…,x_n]のイデアルIに対し、 Iの有限部分集合Gがグレブナー基底とは、 <LT(I)>=<LT(G)> が成り立つことだったぶなね！bit.ly/1j7EF5h

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【基底なのか？④】 ここで、問題なのはグレブナー「基底」って、今まで散々言ってきたけど、実は本当に「基底」だって確認してないんじゃね？ってことぶなっ！ GがIの基底であること、つまり、 I=<G> （GがIを生成してること） が成り立つことを今日は確認していくぶなよっ！！

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【基底なのか？⑤】 それでは、示していきたいと思うぶな！ 【証明】 GをIのグレブナー基底とするぶな。 GはIの部分集合なので、<G>⊂Iは明らかに成り立っているぶな。 よって、I⊂<G>を示すぶな。 G={g_1,…,g_s}とするぶな。 また、fをIの任意の元とするぶな。

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【基底なのか？⑥】 fを割り算アルゴリズムで、{g_1,…,g_s}で割って、 f=h_1*g_1+…+h_s*g_s+r とするぶな。 g_1,…,g_s in I から、 r = f - h_1*g_1+…+h_s*g_s in I が言えるぶな。

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【基底なのか？⑦】 ここで、割り算アルゴリズムから、LT(r) はLT(g_1),…,LT(g_s)のどれでも割り切れないか、r=0ぶな。しかしGはグレブナー基底から、もし、r≠0 なら、 LT(r) in <LT(I)>=<LT(G)> から、割り切れないことに矛盾するぶな

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【基底なのか？⑧】 よって、r=0がいえ、つまり、 f=h_1*g_1+…+h_s*g_s in <G> なので、I⊂<G>が言え、 I=<G>、つまり、グレブナー基底GがちゃんとIの基底になっていることが言えたぶな！！（QED）

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【今日のまとめ】 「 グレブナー基底って、 基底じゃん 」 ぶな！

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今日の参考文献は、毎度おなじみ「グレブナー基底と代数多様体入門」ぶなよ！ togetter.com/li/877168