集合論の公理と実在の多様性？

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@tenapyon これは1階論理の問題点なのか、あるいは集合論の問題点なのか、はたまた公理主義の限界なのか。Dana Scott は第1の、竹内外史は第2の、フツウのロジシャンは第3の答えを選んでいるように思う。俺はScottに与したい。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

集合の宇宙も多様な構造を念頭に置いているのかと思ってた（基礎論やってる人は特に）

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@Pappus_Mugyutan そういう考えがこのごろ流行ってます。Set Theoretic Multiverse って言う理論がありまして、たとえばこちら：arxiv.org/abs/1108.4223

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@j_tGAP @Pappus_Mugyutan 本当の自然数全体とか本当の実数連続体とかと同じことです。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@j_tgap 僕は割と本当のモデルもたくさんあるんじゃないかと思って人々は基礎論やってると思ってたんだけど、 やっぱり一般的にはモデルはひとつであってほしいと基礎論やってる人も思ってるの？

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@tenapyon 竹内外史先生の見解はいたるところで読めるとして、Scottの見解はBellのブール値集合論の本の序文にあります。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

へぇ、これは結構驚きだ。 数学って、公理的集合論の出始めくらいにはもうすでに相対的なものと割り切ってやっていこうとしていたのかと思ったけど、 それでもやっぱり人々は絶対的な公理系を探していたわけか。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@Pappus_Mugyutan さっきフツウのロジシャンはこれが公理主義の限界だと悟って相対主義に甘んじていると言いましたが、これがまさにその「もうすでに相対的なものと割り切ってやっていこうとしていた」ということです。ただそれが本格的になったのはきっとコーエン以後のことです。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

むぎゅたん的には数学はもっとも相対主義的な体系で、だからこそ現在も権威を保ち、かつここまでの成功を得られたわけだし、そうあるべきものだと考え方は19世紀20世紀前半にかけて変化したんだと思ってた。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

あとは Bell 本のScottの序文を読んでくれ〜

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@Pappus_Mugyutan ところが素朴実在論的な数学観はとても根強いのです。岩波基礎数学選書の小平邦彦先生のはしがきなどに典型的ですが。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@tenapyon なるほど。とても面白い話が聞けました。ありがとうございます。 そういうのは研究レベルでも今でも盛んに行われているのでしょうか？

Eureka GAP @j_tGAP

@tenapyon ありがとうございます。集合論の公理がなぜ特別に感じていたのかが分かりました。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

さっき「実数の規定がするものは実数そのものだ」と言ったのは素朴実在論からは一歩を進めている（と思いたい。）数学的対象の実在感のひとつの説明へとアプローチしているからだ。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@Pappus_Mugyutan いや、これは「数学そのもの」ではないので(^^;;;

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@tenapyon まあそうですよね。 でもそういう気持ちを持って、なんらかのアプローチで数学の実在を説明したいという感覚が、基礎論をやってる人のモチベの一部になってることはあるということでしょうか。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@j_tGAP こちらこそありがとうございました。考えを整理する貴重な機会になりました。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@Pappus_Mugyutan 俺はそうですけど、他の人のことはその人たちに聞いてもらわないと。でも、身近な集合論の多くは実在論に近いという感じです。

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@tenapyon なるほど。貴重なお話ありがとうございました。とても面白かったです。