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ぱっぷす＝むぎゅたん
@Pappus_Mugyutan
@j_tgap 公理ってなんらかのconsistentな命題を真とするってことで、それはつまりその命題を真とするもの以外は存在しないという意味で、そのモデルの数学の対象を定義している、という風に理解している。（今は対象は元として取れることに注目しているのでsetの定義だと思ってる
2015-10-23 09:45:42
Eureka GAP
@j_tGAP
@Pappus_Mugyutan いくつかの用語の使い方の不備をスルーすれば、言いたいことは分かるし正しいように思える。つまり集合論の公理は集合の定義とみなしてもよいけど(厳密には集合は未定義語だが)、一般に｢公理｣と言っても直ちに集合論の公理は指さないかな
2015-10-23 10:10:01
ぱっぷす＝むぎゅたん
@Pappus_Mugyutan
@j_tgap なるほど。基礎論を全然知らないのでよく分からないんだけど、数学に対して、それ以外の公理ってどういうのがあるんですか？
2015-10-23 10:14:28
Eureka GAP
@j_tGAP
集合論の公理が集合の定義だという主張はよい、と言ったが自分にとってはあまりそうとも思えない。(しかし直ちに理由をしっかり筋立てて話せない)
2015-10-23 10:21:42
ぱっぷす＝むぎゅたん
@Pappus_Mugyutan
むぎゅたん的には述語論理の上で数学をするときの話をしていて、でもそれって多分集合論のことだから（それ以外のことを知らないので何もわからない）そこでの公理はsetの定義という主張は主張になっていなかった気がしてきた
2015-10-23 10:25:15
Eureka GAP
@j_tGAP
この理由については簡単だった。群とは群の公理のモデルなので、群の公理は群の定義と言える。一方集合は集合論の公理のモデルの｢元｣であるはずだ。しかし、集合論のモデルは無限にある。どれが｢正しい｣モデルなのか?どのモデルの元を集合と言えばよいのか？
2015-10-23 10:55:23
Eureka GAP
@j_tGAP
だから集合論の公理は｢集合｣の性質を取り出しただけ。同様にPAは自然数を定義すると言われることもしばしばだが、PAは自然数の性質を抽出したものであって定義ではない。
2015-10-23 10:58:40
ゼルプスト殿下
@tenapyon
@j_tGAP 群の公理が群の定義だとすれば、集合論の公理は集合の定義ではなく集合の宇宙の定義、ということになりますよね。群要素とはなにか、という問が意味をなさないように、集合とはなにか、というのは、集合の宇宙とはなにか、という問と考えねばならないという考えはいかがですか？
2015-10-23 10:59:37
ゼルプスト殿下
@tenapyon
集合の宇宙の要素に「オブジェクトの集まり」という意味が与えられるのは、群要素には「変換」という意味が与えられるのと並行しています。われわれは群を抽象的構造と考えるのに慣れてしまっているから、変換としての群要素という考えがあたかも「具体例」に見えていますが。
2015-10-23 11:01:36
ゼルプスト殿下
@tenapyon
@tenapyon たとえば環の加法が群でありながら「変換」との意味をもつとは考えにくい。圏の矢印が順序集合の≦と解釈されればもはや「写像のようなもの」ですらない。だが集合の宇宙の要素に「集まり」以外の意味を与えられるかどうかはおおいに疑問だ、くらいのことは言ってほしいかった。
2015-10-23 11:12:18
ゼルプスト殿下
@tenapyon
@tenapyon そうなる理由のひとつは集合論の公理がきちんとしすぎていることにあると思う。構造を規定する公理が多過ぎる。にもかかわらず構造が一意に決まらないので、さっきの @j_tGAP の問題提起が出てくる。一方、群や環や圏の公理は、もともと多様な構造を念頭に置いている。
2015-10-23 11:18:38
ゼルプスト殿下
@tenapyon
いっぽう（1階述語論理の公理系ではないから単純比較はできないが）実数を特徴づける「完備アルキメデス的順序体」で規定されるものは、やっぱり実数である。集合論の宇宙の規定は、こちらの路線を目指したものだったはずだが、なにせ1階述語論理では、そうは問屋が卸さなかった。
2015-10-23 11:21:56
ぱっぷす＝むぎゅたん
@Pappus_Mugyutan
@j_tgap 指摘の意味はわかったけど、性質を取り出すことと定義することって何が違うの？（特に集合論で）
2015-10-23 11:22:45