基礎固めbotの数学2B解説(2)

基礎固めbotさんの数学2B解説の後編です。
数学 数学2b 基礎固めbot
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基礎固めbot @studybottttttt
ここまで60点分ありました。 数2Bでは1Aと配点が違い、 1.2問目:3.4問目が6対4なんですね。 肝に銘じてください。 さらっとできる微分計算積分計算を、適当に計算してミスしてしまうようでは、受験で戦えません。 ケアレスミスは、理解力不足の証です。
基礎固めbot @studybottttttt
続いて、第3問に入っていきましょうか。 3番目の四天王は、ここ数年、数列がそのポジションを他に譲っていません。 おそらく、今年もこの姿勢は変わらないでしょう。 数列…あなたは数列について、どんなことを知ってますか?
基礎固めbot @studybottttttt
・等差数列あるやろ! ・等比数列もあるな ・群数列!! ・階差!!! ・漸化式やろ! 少し勉強を進めている人であれば、フィボナッチ数列、ファレイ数列、いろんな声が聞こえてきそうです。 では、あなたはその知ってる数列について、どのくらい自由自在に扱えますか?
基礎固めbot @studybottttttt
こういうと、少し抽象的すぎますかね。 ではこう聞きます。 あなたは、教科書レベルの数列の基本事項を正しく理解し、そこから得られる情報を、さらっと読み取ったり、活用したり、そういったことがスムーズにできますか? 数列の分野でもやはり、徹底した基本事項が、勝利を導くのです。
基礎固めbot @studybottttttt
おれは教科書が大好きです。ですから、ここでは、教科書の順に、話を進めていこうと思います。 まずはじめに、なにを学習するでしょうか。 数列には、有限数列と無限数列がある、というところから始まり、最初のテーマとして、等差数列、が与えられます。
基礎固めbot @studybottttttt
等差数列と聞いて、どんなことが頭に浮かびますか? ・差が一定 ・連続する3つを取り出した時、真ん中の2倍は1こめと3個目の和になる(等差中項の考え方) いろんな声が聞こえてきそうです。
基礎固めbot @studybottttttt
等差数列とは、皆さんが知ってる通り、連続する2つの差はどこを取っても等しい数の並び、のことなのです。書いてみると、画像のようになりますね。 最初の項(初項)に、ある一定の差額分(公差)を足していくと pic.twitter.com/RtMXJGp7fH
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基礎固めbot @studybottttttt
あなたが求めたい項(仮に今、n個目の数とします)n項目が求まりますね。(画像1) そうしたことから、青線部に着目すると、n番目の項というのは、初項と、公差を用いて赤線部のように表すことができる、ということがわかりますね。 pic.twitter.com/2X1mjHyc9D
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基礎固めbot @studybottttttt
一般項はこれでわかりましたね。 それでは、もしあなたが、n番目までの数の和を知りたい と考えたら、どのように求めたら良いでしょう。 ここでは、証明ではなく、和の公式はなにをやってるのか、というところを、具体例を用いてお話しします。
基礎固めbot @studybottttttt
1〜100までの和を出してください。 と、小学2年生の頃、あなたが言われたら、どんな計算をしますか? おそらく、1から順に、和を出していき、何時間もかけて、ようやくそれに近い答えを出すが、当てられるかはわからない そんなじょうたいになるでしょう。
基礎固めbot @studybottttttt
しかし、かつて、天才はいました。 その子は、頭の中で瞬時に、次のような発想を取りました。(画像1) そしてすぐに、答えを5050として、先生を驚かせました。(画像2) pic.twitter.com/WiNzuvEOxz
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基礎固めbot @studybottttttt
それが、かの有名な、Gaussくん。 マクスウェル電磁気学の第1法則となる、Gaussの法則を発見した、偉大なる物理学者です。 彼は、小学2年生にして、数の並びが等差数列的であることに気づき、その和をさらっと求めて見せました。
基礎固めbot @studybottttttt
おれたちも、小学2年生のガウスくんのこの計算方法に、乗っかりましょう。 等差数列一般でこの考え方は成り立ちます。 等差数列の公式というのは、このように見えるのが、自然なのですね。 pic.twitter.com/8PrrVpo497
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基礎固めbot @studybottttttt
では、一般項と和の式を書いて、少し眺めてみましょう。 どんなことが、わかりますか?(画像1) 等差数列と言っても、どんな数列なのかは、すべて、初項と公差で決まる。 2変数が定まれば、等差数列は一意的に定まるのです。 pic.twitter.com/nLAU5lDIXo
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基礎固めbot @studybottttttt
どういうことでしょう。 等差数列では、初項と公差についての、2つの条件式が与えられれば、必ず一般解を出すことができるのです。 これはものすごいことですよ。 数列の一般項というのは、出せないものの方が圧倒的に多いのです。
基礎固めbot @studybottttttt
また、漸化式でも、この等差数列を表してみましょうか。 2つの連続する数の差額分が常に一定値(公差)を取るんです。 わかりますか? 画像のような関係が成立していることがわかりますね。 pic.twitter.com/7JM9Tka6BW
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基礎固めbot @studybottttttt
逆に、みなさんは、この漸化式を見たらすぐに、等差数列を表してる、しかもその公差はdだ! と言えなければなりません。 見えることは見える。それをまず実感して、見えるものを増やしていく。 暗記ではありません。数式がすべてを物語ってくれています。
基礎固めbot @studybottttttt
さて、続いて、教科書に従うと、どんな数列が出てくるでしょうか。 … … わかりますかね。等比数列です。 等比数列…あなたは、どのくらい、その言葉から、情報を引き出せますか?
基礎固めbot @studybottttttt
どんどん内容に入っていきましょうか。 等比数列というのは、どの連続する2数を取ってみても、必ず、後の項割る前の項の値が一定値(公比)になる数の並び。 のことをいいます。画像のようなイメージを持ってくださいね。 pic.twitter.com/Dr2T1goNcz
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基礎固めbot @studybottttttt
この一般項はどのように考えたらいいでしょうか。 等差数列と同様に考えられそうですね。(画像1) では、同様に、和についても、考えてみましょうか。 pic.twitter.com/DvPv711wct
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基礎固めbot @studybottttttt
和というのは、次のように表せますね。(画像1) くくる意識を持つ…これは、大事な計算の基本だということは、微分積分法の話で何度も言いましたね。 初項がどの項にも共通してます。(画像2)青丸 pic.twitter.com/SUnKDEaCnC
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基礎固めbot @studybottttttt
初項でくくると、画像1のようになります。 ここで、少し天下りになりますが、次の展開公式を思い出して(覚えてない人は、今覚えてしまいましょう)ください。(画像2) 高校に入るとすぐ勉強しますね。 pic.twitter.com/dV2dW9A8fB
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基礎固めbot @studybottttttt
では、この展開公式、一般化すると、どうなるでしょうか。 もちろん証明も簡単なのですが、今は割愛します(帰納法でも、因数定理でも、なんでもできます)(画像1) この式の右辺をみてください。さっきの形が出てきてますね。 pic.twitter.com/BnosKVTyDF
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基礎固めbot @studybottttttt
xをrにして、両辺x-1で割ると良さそうです。。。 ちょっと待ってくださいね。 一般に文字の入った割り算では、0か0じゃないかで大きくその後の議論が分かれます。必然からの場合分けが発生しますね。(画像2) pic.twitter.com/vDM8IVHM1a
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