基礎固めbotの数学2B解説(2)

基礎固めbot @studybottttttt

これが、等比数列の和の公式では、公比の値によって場合分けが生じていた所以です。 さぁここまでわかれば、等比数列の一般項、和はもうかけますね。 この2つの式を眺めてください。 どんなことが言えますか？ pic.twitter.com/VHvRdNuuNW

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あ、等差数列の時と同じで、2変数が定まれば、等比数列が一意的に(１つに)定まる！ と思えた人は、賢いと思います。 あと、注意すべき点は、和の公式のnの部分です。(画像1) nはなんの数でしょうか。 pic.twitter.com/xjwfPAWbl2

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答えは簡単ですね。 並んでいる数の個数と一致することは、今和の公式を出したことで、もうイメージしてもらえると思います。 センター試験では必ずこのnの部分の値を聞いてきます。 さらっと項数を考えて、穴を埋めてやりましょう。

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さて、等差数列同様に、漸化式でも表現してみましょうか。 もう大丈夫でしょう。(画像1) この式を見たら、あなた方は必ず、等比数列だ、とすぐ思いつかなければいけません。 解く前から、見えていることなのです。 pic.twitter.com/PehZnFc51K

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ここで、Σについて、考えてみたいと思います。 ・Σを見るだけで寒気がする ・死にそう ・足釣った ・禿げた いろんな声が聞こえてきそうです。 Σとは、みなさんが思っている通り、和を表現するための記号です。積分記号の∫とやっていることは同じです。

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え、同じってどういうことだよ？って？ 積分記号の∫の意味は、 足せ、長方形の微小面積を、どこからどこまで の意味でしたね。 Σも同じですよ。(画像) これも、Sum(合計)の意味を表す記号です。 pic.twitter.com/XwnsRBFBY1

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等差数列、等比数列の和をそれぞれΣで書いてみましょうか。 きっと今の話で、画像の内容が理解していただけると思います。 数式に埋もれないでくださいね。 大事なのは中身ですよ。なにをやってるのか、が大事なんです。 pic.twitter.com/dfef57gEdd

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この形を見たら、あなた方はまた瞬時に、 あ！等差数列の和だ！ 等比数列の和やん！ と反応できなければいけません。 解く前の段階から、見える人には、中身が見えていて、結果もある程度予測できているものなのです。 見える人になりましょう。無意識の意識化ですよ。

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さぁ、あとは、Σの覚えとかなければいけない公式というのを、しっかり覚えてもらいます。 基本的に覚えておいてもらいたいのは、次の2つです。 pic.twitter.com/ROeIdZkQ4A

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導出は各自任せます。この公式は覚えておいてもらわないと、導き出すのが面倒ですから、さらっと覚えてしまってください。 nの部分が変わってもびびっちゃだめですよ。 次のようにさらっと出して、使ってくださいね。 pic.twitter.com/bA1sr89FdC

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ここまでで、数列の基本事項はおしまいです。 というと、は？と思いますよね。 まだ、分数数列もやってないですし、階差数列もやってないですし、いろんなものが抜けているように思えますね。 しかし、そういったものも、ほとんどが、等差数列と、等比数列に帰着して解かれます。

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どういうことでしょう。 おれたちが手軽に扱える数列というのは、 ・等差数列とそれに準ずる数列 ・等比数列とそれに準ずる数列 ・等差数列、等比数列に帰着できる数列 くらいしかないのです。 漸化式なんかも、解けない漸化式の方が圧倒的に多いのです。

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じゃあ、どうするんだよ？と。 難関校になればなるほど、解けない漸化式を与えてきます。 それはなにをやらせたいのでしょう。 解けなくても見えるものがある。 それをおれはこのセンター2Bの解説の中で、何度もなんどもお話ししてきました。 解けなくても見えること…

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正しく数学を勉強していき、その数式の表す意味、中身、内容などを正しく見えるようになった人なら、だれでも、さらっと見えてしまうようなことを、あなた方ももちろん見えるように、これまで訓練してきましたよね？ 基本事項がわかっていれば、数式を眺めるとこんな性質見えますよね。

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そういうことを、聞いてきているのです。 解いてからじゃなきゃなにも議論できない。 やったことなければおてあげ。 そんな勉強はする意味がないということなのです。 解かなくても見えること、見えるものは見えるように、自分を鍛えてください。

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ただ、センター試験の場合に限れば、解けない漸化式を与えて記述させることなど到底不可能ですから、解ける漸化式、さくっととける数列、そういうものを与えられます。 ですから、等差数列、等比数列をさらっと扱えるようになることは、数列の分野の、基本事項そのものなのです。

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よく出るものを、あと2つほど解説して、本題に入りましょうか。 次の2つの計算をやってみてください。 pic.twitter.com/SnTYQ4VI8g

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さぁ、どちらもやったことないと、発想が苦しいですかね。 ここで、数列の和を求めるための、一般的な武器となる考え方を、教えます。 ある程度勉強が進んでる方も、この2つの問題が、それと大きくつながりを持っていること、あまり意識できていないんですね。

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一般に、ある数列の和を求めたい時、その数列が、他の数列の階差の形で表現できたら、必ず元の数列の和は求まります。 抽象的すぎましたかね。その内容を与えるための2題でした。 1つめと2つめの式変形を、まず、見てみてください。

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なにをやっているのかは、もう少し計算を進めていくと明らかになります。 pic.twitter.com/rmHBMuzCBW

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式に埋もれず考えてみてくださいね。 最初と最後を残してあとはぜーんぶ消えてしまう形になっているのわかりますか？ ここは、自分で式を写しながら、手を動かしながら、ゆっくり考えてみてください。 pic.twitter.com/1MlKVG2lbP

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結局、分数数列の場合の定番の式変形も、等差数列×等比数列の場合の公比をかける定番の式変形も、 どちらも、階差の部分を作り出し、最初と最後の項のみを見れば、答えが出せるようになる ようにするためのものだったんですね。

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こういう階差を作り出す式変形を思いつきさえすれば、どんな数列でも和を出すことができます。 しかし、センターでは、この2つが恐ろしいほどよく出ています。 式を列挙してパタパタ でもいいですが、少し高級な、 Σ計算のみで扱っていく という手法も使えるようにしてください。

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では、以上の基本事項を徹底した上で、第3問、数列を解いていきましょうか。 しかし、この第3問、センター試験の作問委員はきっと、酒を飲み麻雀でもしながら作ったのでしょう。 あまりにも適当な作りすぎますね。 どうしてでしょう。 問題を解きながらお話ししていきます。

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まず、問題を読んでいくと、あー、 エまではさらっと埋まるな。と思いますね。 そして、オも、3(0でも可)が選べますね。 ここまではいいでしょう。 pic.twitter.com/cVbWhaezTW

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