elementary submodel、モデル理論っぽい集合論

ざん @zhanpon

@DaiskeIkegami なるほど。積極的に使うことはあまりないんですね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@zhanpon はい、εモデル以外を積極的に使ってVについての定理を示したり理論を展開したりする人もいるのですが、そういう場合も、εモデルでないモデルのwell-foundedな部分に注目していることが多いです。

ロジカらないジェダイ @foosu_no_riki

ZFCという恐ろしい公理のモデル理論は考えるだけで寒気がする

ざん @zhanpon

たしかに算術のモデル理論はけっこう研究されてるけど集合論のモデル理論はあんま聞いたことない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@zhanpon Ali Enayat さんが集合論のモデル理論っぽい話をよくしています：fs2.american.edu/enayat/www/

ざん @zhanpon

@DaiskeIkegami おお、面白そうですね。ありがとうございます！

ざん @zhanpon

あ、ところでHodgesのModel Theory（赤くて巨大なやつ）にはちょいちょい集合論のモデルの話が載ってる。

ざん @zhanpon

いけがみさん、突然TLに降臨して有用すぎるリプライをしまくって去っていくので預言者っぽい。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

集合論のモデル理論、やっぱり、Ali Enayat の路線が本流だと思う。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

ただ、以下のような定理も、集合論のモデル理論についての結果と言っていいんじゃないかな、と思う：M, N が ZFC のモデルで、以下の二つの条件が成り立っているとする；i) (ω, \in)^M = (ω, \in)^N, （続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

（続き）ii) 巨大基数を充分に持つ ZFC のモデル X で、X は M, N のどちらでも可算で iterable であるものが存在する。このとき、(L(R), \in)^M と (L(R), \in)^N は初等同値。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

「集合論だと推移的なモデルしか見ないじゃん」というコメントがよくあるし僕もそう思うけど、さっきの定理の M, N は、ω-モデルである必要すらないし、M と N の順序数が比較できなくても問題ない（M, N の ω が等しくなきゃいけないけど）。こういう定理、好き。