記述集合論的命題の強制可能性について

ゼルプスト殿下 @tenapyon

可測基数はラムゼイ基数の定義の「サイズκの均質集合」を「定常な均質集合」に書き換えたやつをみたすなあ。#個人の感想です

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@tenapyon いや、いまちょっと《補解析集合に対する完全集合定理が強制法で壊せない》という命題と同値な見かけ上もっと弱い命題がないかと考えていたのよ。んで、《〜》の命題を保証する巨大基数公理としては「いくらでも大きいラムゼイ基数がある」ってのがあるなあと。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@tenapyon さっきの《〜》は「集合サイズの強制概念では ∃a∈R(R⊆L[a]) を強制できない」という主張と同値だろうか。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon こんばんは。おそらく、《〜》の命題は「すべての集合 X に対して X^# が存在する」という命題と（ZFC の下で）同値になると思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon 「～」から《〜》への議論：「～」という命題は、set forcing でその真偽が変わらないことが知られています。この事実を使うと、どんな set forcing extension でも「～」が成り立つので、特に《〜》が成り立ちます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon 《〜》から「～」への議論：《〜》の命題を仮定して0^# の存在のみ示します（一般のX^# の場合も同様に議論できます）。0^# が存在しないと仮定して矛盾を導きます。Jensen の被覆補題より、κ=ℵ_ωとすると、(κ^+)^L = κ^+となります（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）P = Coll (ω, κ) とし、V 上の P-generic filter G から得られる ω から κ への全射をコードする実数 x を V[x] = V[G] となるように取ってきます。（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）このとき、(κ^+)^L = κ^+ より ω_1^{L[x]} = (κ^+)^L = ω_1^{V[G]} となりますが、これは《〜》に矛盾します。 （おわり）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon この議論で、どこかおかしなところやコメントがあったら教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@DaiskeIkegami いやあ、そこまでは自分でも考えたし、池上さんとも以前に議論した覚えがあるので間違いはないと思うんですがね、さっき考えてたのは、見かけ上もっと弱い命題にならないかってところで。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@DaiskeIkegami それこそ、¬∃a∈R(R⊆L[a]) のset-forcing indestructibilityくらいまで弱めても同値なんじゃないかと考えてたんです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon あ、すいません。ちゃんと読んでませんでした。。。「～」と《〜》の同値性はさっき気づいたばかりだったもので。。。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon そこまで弱められるかどうかはちょっとわからないですね。何かわかったらお知らせします。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon ちょっと考えてみましたが、《〜》は ¬∃a∈R(R⊆L[a]) のset-forcing indestructibility と同値になるんじゃないかと思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon ¬∃a∈R(R⊆L[a]) のset-forcing indestructibility から 0^# の存在を示します（X^# の場合も同様に議論できます）。対偶を示すために、0^# が存在しないと仮定します。（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）κ を κ = card(V_κ) となる基数とし、P = Coll (ω, V_κ) を考えます。V 上の P-generic filter G から得られる ω から V_κ への全射をコードする実数 a を V[G] 内で取ってきます。（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）このとき、V[G] で R⊆L[a] が成り立つことを示します。V[G] 内の任意の実数は、V 内のV_κの部分集合一つと a でコードできます。さらに、κ が strong limit で a が V_κ をコードしていることを使うと、（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）V[G] 内の任意の実数は V 内の κ^ω の要素一つと a でコードできます。よって、V 内の κ^ω の任意の要素 x が L[a] に属していることを示せばおしまいです。（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）Jensen の被覆補題より、V 内の κ^ω の要素 x は L 内の κ の部分集合 y で y の濃度が（V で）ω_1 以下のもので覆えます。よって、x は、y と（V 内の）ω_1^ω の要素一つでコードできます。（続く）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon （続き）しかし、これら二つはどちらも L[a] に属するので、x \in L[a] となります。（おわり）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon 長々と失礼しました。どこかおかしなところがあったら教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@DaiskeIkegami ありがとうございます。先日から、 ω_1^L = ω_1^V という仮定のもとで、almost disjoint forcing で同じようなことができないか考えていました。ついついケチくさく小さな道具だてでやりたがるのはわたくしの欠点ですね。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@DaiskeIkegami 仮定∃x∈R(ω_1^L[x]=ω_1^V)から強制法で∃a∈R(R⊆L[a])が出れば、¬∃a∈R(R⊆L[a]) のset-forcing indestructibilityが昨晩の《〜》と同値とわかる、という方針で考えてました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapyon 僕の場合、大雑把に物事を考えて細かいところでうまくいかないことが多いので、今回は運が良かったです。昨日・今日の話は勉強になりました。ありがとうございます。

ゼルプスト殿下 @tenapyon

@DaiskeIkegami その《〜》がPi^1_1-determinacyのset-forcing indestructibilityと同値なのも、池上さんが昨晩言ってくれたとおりです。