2018年圏論ツイート初め

V-alg-d（ZZ） @alg_d

まあ定義はこんな感じですが、3圏の場合も2圏と同じようなことが成り立つのか? は気になりますよね。つまり 【問】任意のtricategory Tに対して，strict 3-category Cが存在して、T～Cとなるか??? (ここで～で「triequivalence」を表した。)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

実はこれは成り立ちません(←は????????????????)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

実はstrict 3-categoryよりは条件が弱いが、tricategoryよりは条件が強い、Gray-categoryという種類の3-categoryがあります。これを導入すると次の定理は示せます。 【定理】任意のtricategory Tに対して，Gray-category Cが存在して、T～Cとなる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

つまりtricategoryはstrictにまではできないけど、Gray-category程度までだったらいけるということですね。

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@j_tGAP ＼いけー!／ pic.twitter.com/NdziC200aF

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@j_tGAP HTT通読できてない人 #人 pic.twitter.com/xHA9zezkbP

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というわけで、ここでワヘイヘイ先生の漫画を見てみると、ここで出てくる「トライ拳」と「グレイ拳」というのはtricategoryとGray-categoryのことで、実質同じという事ですね。 pic.twitter.com/M3gkRCBTCz

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ワヘイヘイ先生に聞いたら同じ技で名前が違うだけなんだと言っていました

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ところでこれらの【定理】はどうやって示すかというと、基本は米田埋込で埋め込むだけです。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

2圏の場合、Bをbicategoryとすると米田埋込 y: B→B^ が定義できて、米田の補題が証明出来るので y が「埋め込み」になることが分かります。またB^がstrict 2-categoryになるので yの「像」に当たるをCとすればy: B→C がbiequivalenceを与えます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

tricategory Tの場合も大まかには同じですが、ちょっと準備が必要で、あらかじめTをcubical tricategoryというものに取り換えておきます。cubical tricategoryというのはちょっと条件が加わったtricategoryで、こうしておくとTを米田埋込したときに像がGray-categoryになるらしい。

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今日の話は以上

V-alg-d（ZZ） @alg_d

いや2圏の米田、長いだけで全部自明だから

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ここまでの話がalg_d.comではなんとたったの59ページで読めます!!!!!!!

V-alg-d（ZZ） @alg_d

参考文献: 2_category.pdf, 3_category.pdf