目標→偶数と自然数はどっちが多いのか？自然数と有理数、自然数と実数は？という問題に答える。
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あも
@amoO_O
次。実数と自然数。これも「全体と部分」という関係にあるから、実数が出す数字に対して、自然数が出し続けられれば、これまでの議論と同様、「実数と自然数は同じだけある」と言える。どのように数えたらいいか？？ #math_potency
2011-04-13 01:40:54
あも
@amoO_O
実は、自然数が頑張ってどんな「数え方」を用意してきても、実数を数え上げることはできない。どんな数え方に対しても、実数は、そこに挙げられていない数字をポンっとひねり出すことができる。カントールの「対角線論法」と呼ばれる手法だ。 #math_potency
2011-04-13 01:45:16
あも
@amoO_O
※対角線論法の説明はどうしたって数学チックになってしまいます。ごめんなさい。もうちょいわかりやすい説明があったら教えて下しあ＞＜ #math_potency
2011-04-13 01:46:09
あも
@amoO_O
対角線論法は、いわゆる「背理法」の亜種だ。証明の便宜上、0以上1未満の実数にしぼって、数えてみる（こんなにハンデを与えても、自然数は実数を数えることはできない！）。実数を数えられると仮定して、矛盾を導く。 #math_potency
2011-04-13 01:51:02
あも
@amoO_O
実数を数えられるんだから、それを順にa[1],a[2],a[3]…と並べてみる。これらは0以上1未満だから、0.3462356…とか、0.84874937…とかが並んでるはずだ。#math_potency
2011-04-13 01:53:30
あも
@amoO_O
カントールはこれらの実数を縦に並べた。すると、0以上1未満の数字が綺麗に並ぶ。実数サイドの戦略はこうだ。こうして並べられた実数の、対角線の数を取り出して、「その数でない数を使って」実数を作る #math_potency http://yfrog.com/h4rgwwjj
2011-04-13 02:10:58
あも
@amoO_O
http://yfrog.com/h4rgwwjj ←の b がそれ。この数は明らかに0以上1未満の数だから、自然数サイドは当然「数え上げている」はずだ。つまり、a[1],a[2],a[3]…という数字のどこかに入っているはず。 #math_potency
2011-04-13 02:13:40
あも
@amoO_O
bの作り方からして、a[1],a[2],a[3]…のどれかと同じになることは絶対にありえない。b と a[n]は、常に少数第n位が異なるからだ（逆に、そうなるようにbを作った、と言える） #math_potency
2011-04-13 02:19:05
くっちんぱ
@kuttinpa
「数え上げの表に入っているほうは、999…となるところは000…で表記する」みたいな蛇足の説明がないときついのかな #math_potency
2011-04-13 02:19:23
くっちんぱ
@kuttinpa
1増やすのではなく、偶数なら1、奇数なら2を割り当てればたぶん大丈夫。重箱の隅を突いてタグ汚してごめんなさい #math_potency
2011-04-13 02:20:48
あも
@amoO_O
まとめ。自然数の戦略はなんでもいい。有理数相手にやったように、好き勝手に並べ替えてくれて構わない。実数の戦略は、そうやって並べられたどの実数とも「ちょっとだけ違う数」というのを作り出し、突き出す。自然数がどんな並べ方をしたってこの操作はできる。 #math_potency
2011-04-13 02:21:46
あも
@amoO_O
結局、どんな並べ方をしたって「自然数側の数え上げ」にもれる実数が現れる。つまり、「自然数と実数では、実数の方がはるかに多い」ということになる。 #math_potency
2011-04-13 02:22:40