相加平均と相乗平均の不等式から凸関数へ（更新中）

全日本数学好き高校生応援会 @support_math

相加平均と相乗平均の不等式というのがあります。呼び方は他にも色々あると思いますが、多分数学IIあたりの教科書にも出て来る式です： どんな2つの0以上の実数 a1,a2 に対しても (a1+a2)/2 ≧ √{a1 a2} が成り立つ。

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証明は難しくありません。 証明） a1,a2 を0以上の実数とする。実数の2乗は常に0以上だから、 ( √a1 - √a2 )^2 ≧ 0 a1 - 2√a1√a2 + a2 ≧ 0 a1 + a2 ≧ 2√{a1 a2} (a1+a2)/2 ≧ √{a1 a2} 証明終😊 このように簡単に証明できるのですが、入試問題にもちょくちょく登場する重要な不等式です

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ところで「相加平均」「相乗平均」とは何でしょうか。相加平均は不等式の左辺 (a1+a2)/2 のことを、相乗平均は不等式の右辺 √{a1 a2} のことを指します。相加平均はいわゆる普通の “平均” ですが、相乗平均はどのへんが平均っぽいでしょうか。

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図形的に言えば、相加平均は長さが a1,a2 の2本の棒を繋げた棒のちょうど半分の長さだと思えます。対して相乗平均は縦と横の長さが a1,a2 の長方形と面積が同じ正方形の1辺の長さだと思えます。そんな感じで平均っぽい感じです😙