2019年8月26日

【雑まとめ】分類トポスとモデル理論の話

分類トポスの専門家増えてほしい
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ペーパー @paper3510mm

論理学やるひとはたくさんいても計算量やる人ぜんぜんいないって友だち嘆いてた

2019-08-25 22:12:07
ぴあのん @piano2683

論理学やるひとはたくさんいても圏論的モデル理論やる人ぜんぜんいないって嘆いています

2019-08-25 22:36:05
ぴあのん @piano2683

どのくらいいないかというと世界的に見てもRosicky(チェコ・マサリク大学)とPrest(イギリス・マンチェスター大学)周辺しか目立ったグループがいなくて、しかも彼らはモデルの圏を中心に扱っているので私みたいに(一階理論の)分類トポスの研究を今でもやってる人は世界で数人しかいない

2019-08-25 22:44:21
ぴあのん @piano2683

Oliviaのところが人増えてくれれば数十年ぶりに分類トポスコミュニティ復活となるでしょう(たぶん大昔のカナダにはコミュニティがあった)

2019-08-25 22:47:24
V-alg-d(正規版) @alg_d

世界に数人しかいないぴあのん

2019-08-25 22:47:14
ぴあのん @piano2683

alg_dは唯一無二だからな

2019-08-25 22:48:00

Taichi Uemura @t_uemura669101

分類トポスって何が嬉しいの?

2019-08-26 00:10:28
ぴあのん @piano2683

森田同値がbi-interpretabilityと一致するので理論の``model-theoretic core''だと見做せる

2019-08-26 00:24:58
ぴあのん @piano2683

理論の双翻訳可能性によって多くのモデル理論的性質が保たれる&モデル理論の文脈において双翻訳可能性によって理論を同一視するのは自然なので、分類トポスを使うことで表示する言語に依らないモデル理論ができるのではないかという考え方です

2019-08-26 00:31:47
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 bi-interpretabilityというのは理論T,Uに対してTからUへの翻訳とUからTへの翻訳が存在するという意味ですか?

2019-08-26 00:27:57
ぴあのん @piano2683

@Alwe_Alwe 存在して合成がidと“ホモトピー同値”

2019-08-26 00:28:56
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 ここにおける理論って何の上の理論ですか?

2019-08-26 00:30:44
リンク ncatlab.org interpretation in nLab
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 なるほど、翻訳可能性が圏論的に特徴付けできるのは面白いですね…。ありがとうございます

2019-08-26 00:33:49
ぴあのん @piano2683

ちなみに理論の保存拡大とか公理の追加とかを函手(や幾何的射)の性質によって特徴づけることができます

2019-08-26 00:35:57
ぴあのん @piano2683

公理の追加(理論の商)と部分トポスが対応するというのがCaramelloの双対性ね

2019-08-26 00:36:51
ぴあのん @piano2683

あと、分類トポス(もしくは分類プレトポス)を取ることはsyntactic categoryをある種の完備化になっていますが、これはモデル理論におけるeq-構成に対応しています。つまり、分類トポスを考えれば自然に仮想元込みの議論ができる。

2019-08-26 00:40:03
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 公理の追加が理論の商っていうのはどういうことですか?

2019-08-26 00:55:01
ぴあのん @piano2683

@Alwe_Alwe 言語を固定したうえで、Tの拡大Sで「S|-φならばφ∈S」なるものをTの商と定義する

2019-08-26 00:59:57
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 PAの商は例えばTh(ℕ)とかですか?

2019-08-26 01:01:29
ぴあのん @piano2683

@Alwe_Alwe そう。ちなみに完全な商はtwo-valuedな部分トポスに対応する。

2019-08-26 01:03:11
Alweさん @Alwe_Logic

@piano2683 不完全な商というのは例えばTh(PA)をPA⊢φとなるようなφ全体の集合としたときみたいなものですか?

2019-08-26 01:05:07
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