2020年6月30日

「時間」から語りなおそう力学と解析数学

セルフまとめです、後日参照できるよう。
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uroak_miku @Uroak_Miku

ハミルトニアンの発見には幾何光学が大きく関わっています。光線は常に最短距離をゆくの法則はフェルマーが提唱していて変分法で説明可能でしたが、これを微積で語りなおすとラグランジアンが浮上。ここより実用性の高いハミルトニアンが見いだされ、光学がそのまま力学と地続きと判明。

2020-06-30 19:07:05
uroak_miku @Uroak_Miku

時代は違うのですがオイラーは変分法を使うのを嫌っていました。「最短距離」などという形而上学的主張に頼らず解析の力で語りきるのをモットーとしていたのだと思われます。

2020-06-30 19:08:18
uroak_miku @Uroak_Miku

ニュートンの『プリンキピア』は幾何を駆使して引力の法則を語っていて、微積に頼らなかった。微積で立式して幾何言語(ユークリッド!)に翻訳したとする主張が今もあるのだけどそのセンはないと見ます。ニュートン微分はかなり素朴なものだったから彼も途中で行き詰まり引力論で上がりにしたのです。

2020-06-30 19:11:05
uroak_miku @Uroak_Miku

ライプニッツは『プリンキピア』を実は読んでいて、幾何ではなく今でいう解析を使い、それから引力仮説を否定しデカルト渦理論準拠で同じ結論を出すべく奮闘。結局ニュートンを超えることはできずケプラー第三法則すら導出できなかった。しかし微分を力学に取り入れたのは画期でした!Δtなど。

2020-06-30 19:16:11
uroak_miku @Uroak_Miku

ライ氏はニュートン教授のいう絶対時間/絶対空間の考え方に否定的でした。宇宙の生まれる前にすでに絶対時間/空間があったのだとしたらそれはいつ生まれたのか?このようなループに陥るから気に入らない、と。この問題意識がモナド論に進化。情報理論の始祖と呼べるかもしれない。

2020-06-30 19:19:00
uroak_miku @Uroak_Miku

けれども彼なりの重力理論(というか重力否定理論)は微分を駆使していて、今の私たちが使いこなしているΔx/Δtなどの演算子がばんばん使われている。彼が発明者。絶対空間と絶対時間を疑わざるものとして数式に取り入れていたわけです、本人はどのくらい意識していたのかわからないけれど。

2020-06-30 19:23:43
uroak_miku @Uroak_Miku

F=maなどすっきりとニュートン法則を数式言語化したのはもっと後世のオイラー。解析の鬼。彼は形而上学を嫌った。数学者としては百年にひとりのど天才でしたが、哲学的思考は凡だったようです。

2020-06-30 19:26:22
uroak_miku @Uroak_Miku

話は20世紀にとびます。ディラックが例の波/粒子論争の真っただ中で見出したある数式が、前にどこかで見たことがあると思い、図書館でハミルトン力学の本を開けてみて「ああハミルトニアンの式そのものじゃん!」と確認。幾何光学→ハミルトン力学→場の量子論のドラマがこのとき開幕した。

2020-06-30 19:29:31
uroak_miku @Uroak_Miku

このあたりの話はブルーバックス好きなら「あああの話ね」なわけですが、ケプラー法則にすでに絶対時間の概念の萌芽があって、これが微積の進化にものすごく関係していることを指摘した本はあまりないようです。

2020-06-30 19:33:48
uroak_miku @Uroak_Miku

例の面積一定の法則ですよ。ガリレオもコペルニクスも惑星は等速円運動と考えていた。ところがケプラーは楕円運動、それも非等速と言い出した。速度変化は面積一定の法則で説明できる、すなわち何年何月何日何時何秒に木星がどのあたりにあるか予測できるのです。速度は変化するけれど時間は等速だって

2020-06-30 19:36:46
uroak_miku @Uroak_Miku

微積とは極限、そして無限小を取り扱う思考。無限に小さくなる、それはつまり運動であり、運動には時間が伴う。ユークリッド幾何学に時間は定義されていないにも関わらず時間の概念を内包せざるをえなくなったわけです。 このぜい肉をはぎ取っていったのが集合論。時間を数学より追放した。

2020-06-30 19:51:56
uroak_miku @Uroak_Miku

20世紀数学の一大成果でした。同じく物理の方でアルベルト氏が時間と空間の等価性を主張。これで宇宙創成論への足掛かりができた、と私はみています。

2020-06-30 19:53:47
uroak_miku @Uroak_Miku

小1で「みかんが三つ、みかんが五つ、あわせていくつ?」と問いかけられるとき、私たちはみかんを思い浮かべる(実際に並べてみたりもする)。やがて3+5=?と思考するようになる。「量」ではなく「数」で考えるようになるわけです。

2020-06-30 19:58:14
uroak_miku @Uroak_Miku

やがて3-4=?とか(-3)✖(+4)=?とかの、もはや「量」に翻案が聞かない世界に連れ出される。

2020-06-30 20:00:31
uroak_miku @Uroak_Miku

飛行機なら鳥のアナロジーで理解できても、宇宙船の機動はもはや地球のいかなる機動にもなぞらえようがない。

2020-06-30 20:01:31
uroak_miku @Uroak_Miku

こういうのは映画のなかのおとぎ話。 pic.twitter.com/C3a213ZJEd

2020-06-30 20:02:37
uroak_miku @Uroak_Miku

私たちが身体で理解できる「量」は、宇宙創成の際に「数」のなかから選ばれたごくローカルなものです。しかし人類はやがてこの「量」より「数」を抽出し、両者の食い違いこそがまさに宇宙誕生の名残だと気が付いていったのでした。

2020-06-30 20:05:38
uroak_miku @Uroak_Miku

私が大学の一年生向けに数学や物理学の講義をしたら、めっちゃ人気でそう。それも超名門大学。

2020-06-30 20:09:41
uroak_miku @Uroak_Miku

このつぶやき、私にしては「いいね」がたくさんついている。それも数学畑の方々から。皆さん数式では理解できていても科学哲学史で語りなおされるとすごく新鮮に感じてしまうのかな。 twitter.com/Uroak_Miku/sta…

2020-06-30 20:46:57
uroak_miku @Uroak_Miku

ニュートンの力学を解析学で整理してみせたのはオイラーでしたが、なお幾何的処理が残った。それを完全に代数的処理(分数の割り算は上下を入れ替えてかけろ的な機械的処理)に置換してみせたのがラグランジュ。変分法の演算子としてεを採用。これで形而上学を変分法より拭い去った。

2020-06-30 22:10:46
uroak_miku @Uroak_Miku

そして微積の世界(Δ演算子!)に翻案しラグランジアンが浮上。 興味深いことにラグランジュそのひとはこれを通過点としか見なしていなかった。

2020-06-30 22:12:55
uroak_miku @Uroak_Miku

解析力学を大学で習う際に、皆さんこういう話を教わっているでしょうか?

2020-06-30 22:14:16
uroak_miku @Uroak_Miku

演算子の発明がどれほど数学それに物理の思考を変えていったのか、言葉に尽くせぬほどです。

2020-06-30 22:15:36

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