「√2 を2乗しても1.999...で、2にならないのでは？√2は存在するのか？」生徒の質問に答えようとする数学関係者一同の議論

Limg @LimgTW

@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 極限を認めてない人に極限をどのように導入して納得させられるかが争点に見える。私は循環小数の例外を喜んで利用して導入するが、へだるさんはそれを使うモチベーションが無いとし別の何らかの方法で導入しようとしているように見えます。が、その別の方法は難しかろうという見方では一致しているとw

x_seek @x_seek0

@miyuki_MathT @Fo_Tr0 無限の桁数を持つ√2が存在すると考えるのが実無限。(高校数学は実無限) √2は任意の誤差εに対しN桁の小数表現で存在すると考えるのが可能無限。(大学で学ぶε-N論法) xseek-qm.net/quantum_number…

みゆき @miyuki_MathT

@x_seek0 ちなみに、噛み砕きはしましたが、簡単に２つのことを話しました 「実数の連続性を認めよう」 「1.41421…<√2<1.41422…と、両側から誤差を減らしていくと…？」 記事、ありがとうございます😆 授業で見せたりしてもよろしいでしょうか🤔？

x_seek @x_seek0

@miyuki_MathT もちろん、問題ございません。ご参考になれば幸いです。 突然、記事を紹介し失礼しました。「本当にそこ(数直線の1点)にいるんですか？」という生徒の発言に感銘を受けたのでつい… 数学者のクロネッカーも無理数は存在しないと考えていたようなので、それほどおかしな考え方でもないと思います。

みゆき @miyuki_MathT

@x_seek0 ありがとうございます😊 新高1の子なんですが、とんでもない感性してました(誉め言葉) 幅が0になって最後は点になる。それは実数と認めよう！程度に解説しました😌 ピタゴラスも無理数を認めたくないあまりヒッパソスを※※しちゃいましたし笑

x_seek @x_seek0

@miyuki_MathT 常識に疑問を持つ変わった人に「どうしてこんなことが分からないのか」と言うのか、「それは大学レベルの疑問なので、今はとりあえず実数の存在を認めよう」と言うかで、その後の数学への興味の持ち方が変わってくると思いました。 (みゆきさんが、前者のような方でないことは理解しています)

x_seek @x_seek0

√2が数直線上に存在することを暗黙の前提としている人が多いような印象を受けます。でもその考えは本当に正しいのでしょうか？ (続く)

x_seek @x_seek0

「いやいや、√2は1.41と1.42の間に存在するでしょ」と考える方も多いでしょう。それは無意識のうちに「連続体」の存在を認めているからです。 (続く)

x_seek @x_seek0

連続体とは、簡単に言えば実数直線の事です。 詳しい説明は、次のURLにあります。(続く) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A…

x_seek @x_seek0

連続体とは、不正確に言えば、無限に細かい目盛りを持つ定規のようなものです。そのような定規は本当に存在するのでしょうか？ (続く)

x_seek @x_seek0

例えば現実に目を向けてみると、金属は連続体ではありません。それは原子で構成されているからです。 (続く)

x_seek @x_seek0

では、時空はどうでしょうか？もしかすると時空も「時空の原子」で構成されているのかもしれません。 (続く)

x_seek @x_seek0

仮に連続体が物理的には存在しなかったとしても、数学的には存在するのでしょうか？ (続く)

x_seek @x_seek0

私は、連続体(無限に細かい目盛りを持つ定規)は存在しないと推測します。なぜなら、「無限に細かい目盛り」を作る操作が完了しないからです。 (続く)

x_seek @x_seek0

例えば、定規の目盛りを一回分割するごとに、手帳に一桁の数字を書き込みます。奇数回目の分割では1を、偶数回目の分割では0を書き込みます。 (続く)

x_seek @x_seek0

書き込む際には前に書かれていた数字を消してから書き込みます。従って手帳には常に0か1の数字が一つだけ書かれます。 (続く)

x_seek @x_seek0

さて今、定規の目盛りの無限分割が終わりました。この時、手帳にはどんな数字が書かれているのでしょうか？ (続く)

x_seek @x_seek0

この質問に答えることは難しいと思います。その難しさが生ずる要因は、連続体の不存在にあると私は考えます。 (続く)

x_seek @x_seek0

連続体が存在しないため、無限の桁数を持つ√2は存在せず、誤差εに対するN桁の小数表現として存在すると私は考えます。