地図とは？

hfu @_hfu_

“Frenemy - Wikipedia, the free encyclopedia” http://t.co/9Q79Isce

Kozo Kamada @geo80k

で、同相な全ての集合について、もっとも標準的な（自然な）表現はなんだろう、という考え方が入りうる。最も自然な表現は、通常、ユークリッド空間に最も近い、というような考え方で整理できることが多い。すると、そのような位相空間から普通のユークリッド空間への写像が「標準的写像」として定まる

hfu @_hfu_

「"There's no step 3!" was the catch-phrase in a popular iMac commercial」 / “iMac - Wikipedia, the free encyclopedia” http://t.co/wla9PrL9

Kozo Kamada @geo80k

「標準的」という言葉は、数学だけのものではなく、物理（古典力学、量子力学）などでも登場する。canonical と書く。物理の場合は正準方程式という名前で登場することもあるかも。Hamilton Canonical Form とか。

Kozo Kamada @geo80k

結局、地図とは、１）どのような位相を採用するのか（モデリングの問題）、２）どのような標準的写像を採用するのか（表現の問題）　の２つに集約したい。これが数学的な立場。（一挙に書いたので、穴があるかも知れぬが、@_hfu_ さんにインスパイアされて）

hfu @_hfu_

「either an enemy disguised as a friend or to a partner who is simultaneously a competitor and rival」使用に注意を要する言葉である http://t.co/9Q79Isce

Kozo Kamada @geo80k

バスの路線の場合。バス停の集合Ｍと、（乗り換えを含み）適当なバスに乗ってＭの元 a から b へ移動することを Fab と書くこととして Fab 全体の集合【F】と書く。【F】に乗法 Fab * Fbc = Fac とを導入すれば【F】は群をなす（ように拡張することができる）。

Kozo Kamada @geo80k

バス路線を群で表現しても、おそらく一般の人には何の意味がないが、数学的にはこういった場合も「同一視」してしまう。バス停はインスタンス、群はクラス定義として扱うことは可能である。

Kozo Kamada @geo80k

誰もバス停を群として表現したいとは思わないかも知れないが、群として取り扱うことで（そのバス停の地域性からは独立したような手法での）解析を導入できる場合がある（そのような解析の導入正当性が、群論側で保証してくれる）。もちろん、地域特性に基づく解析は別途行わなければならない。

Kozo Kamada @geo80k

標準的な写像がある、ということは、ジオ的に言えば、マッシュアップの可能性を確実に保証する、ということでもある。

Kozo Kamada @geo80k

紙の上にペンで地図を描く限り、モデル設計と表現とは分離できない。紙地図になれた人は、GIS 上でも分離しないかもしれない。しかし、GIS（というツール）で地図を扱う場合には、無理にでも、モデル設計と表現とを分離しなければならないのではないか。

Kozo Kamada @geo80k

私が QGIS の CRS に違和感を覚えるのも、本来分離すべき座標系の採用と投影法の採用とを分離せずに扱っているから、に尽きる。

Kozo Kamada @geo80k

電子国土基本図は、デジタルなので、位相（地物の採用基準）と、表現（位相をユークリッド空間へ写す写像の表現）とを分離して考えたいのであった。その意味では、前にも言ったとおり、先にラスタ画像が登場したのが不幸の始まり（誤解の温床）であった。

Kozo Kamada @geo80k

自分は研究者ではないので、先行研究を頭に入れ尽くすことは今後も絶対に実現しないと確信している（そんな能力はない）。が、空間的思考と言う（言ってみる）からには、位相（計量の入った、微分可能多様体）との互換性を忘れてはうまくいかないと思っている。

Kozo Kamada @geo80k

計量位相多様体については、伊理先生が（中央大学での最終講義でだったか）もっと格調高くお話しされたような記憶がある。

Kozo Kamada @geo80k

訂正　：　もっと格調高く　→　もっとずっとずっと格調高く

Kozo Kamada @geo80k

@_hfu_ すると、私の文脈での「私的地図」は「標準的でない写像」と言い直すべきですね。

Kozo Kamada @geo80k

【補足】「研究者ではないので先行研究をすべて追いきれない」とは書いたが、追えなくて良いとは思っていない。追える限りは追い、その中で無矛盾な考え方を導きたい。それでも外から崩される恐れは大きいので、メタ論理も用意しておきたい。これでも完全ではないことは明白だが。

Kozo Kamada @geo80k

さらに外から見ようと、もう一段メタ論理を導入するのは避けたい。私の能力ではメタメタになってしまうからであるw

Kozo Kamada @geo80k

カノニカルな位相を持ち、カノニカルに表現されている地図。そのようなものが用意できるのかそもそも不明瞭であるが、そのような地図をこそ、 基本図と呼ぶべきなのであろう。

Kozo Kamada @geo80k

集合とユークリッド空間との間の写像（図示もしくはDB化を前提に）として考えれば、対象がジオかどうかは本質的に影響しない。本質的に影響するような地図（孤立した地図）は、 @_hfu_ 流の私的地図の要件を部分的に満たすのかも。