『Henle集合論』勉強会・第4章
-
- いいね！0
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】Henle本を4章から再開。最近フォローしてくださった方、すみませんがこんな調子( http://t.co/VkAOG6Th )のお勉強ツイートが増えます。
2012-09-13 12:16:25
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】実は3日くらい前から再開してるんだけど、きれいさっぱり忘れちゃってリハビリするのに結局3章をやり直すハメになった。何を使ってよくて、何を使ってはいけないのか把握していないと一歩も前に進めません（汗
2012-09-13 12:16:36
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】いよいよ有理数を組み立てるわけですが、「どう定義すればいいか」に関しては既に3章で整数を作るときにネタバレしている。あの「自然数の加法だけで同値類を定義して、整数と同一視する」という発想は感動的だった。同じことを「整数の乗法」でやればいい。
2012-09-13 13:18:32
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】整数p,q,r,sに対してp(・_Z)s (＝_Z) q(・_Z)r を満たすことを<p,q>(＝_Q)<r,s>と定義する。読みにくいが、ここから先は自然数としての加法・乗法・等号なのか、整数としての加法・乗法・等号なのかを明確に意識しないと、頭が大混乱する予感。
2012-09-13 13:20:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】よく考えたら3章では、別に（aを自然数として）「<a,0>を代表元とする同値類」のことを（整数としての）「a」などと書くようなルールは導入していない。4章以降に出てくる整数を表す文字は「識別子」だと思った方がよいわけか。
2012-09-13 13:20:49
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
@y_bonten あの整数の構成法は見事ですよね。大学の数学サークルの学園祭冊子でその辺りのまとめを発表したことを思い出しました。
2012-09-13 13:28:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@MarriageTheorem はい。後世の人間に「ふーん」で済まされるとちょっと悲しい箇所ですね。数学ガールでは感動的に説いていましたが。
2012-09-13 13:29:47
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
@y_bonten 整数を「自然数同士の引き算の結果」の全体と捉える発想自体は負数の生い立ちからみて自然な発想と言えるかもしれませんが、同値類たちに演算を定義するという方法で「発想を具現化した」ことはまさに賞賛すべきブレークスルーだったのでは、と想像します。
2012-09-13 14:11:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】有理数と言うと「整数÷0でない整数」なわけで、さっきのもqやsが0のときに対しては定義しない。符号を分母・分子の片方だけに背負わせて、「自然数／0でない整数」とか、「整数／0でない自然数」とか、あるいはクラスタによっては「整数／自然数」とか、いろいろ書けるが、
2012-09-13 15:45:34
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】それぞれの書き方が便利なこともあるけれど、ここでは有理数を「整数の順序対の（ある同値関係に関する）同値類」とみなす立場。順序対の片方をわざわざ自然数に限定したら、「整数と自然数の乗法」とかが出てきてめんどくさそうだ。
2012-09-13 15:46:35
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】さぁ、ブラックボックス抜き打ちスケルトン試験。整数p,q,r,sを順に<a,b>,<c,d>,<e,f>,<g,h>、ただしc≠d, g≠hとする。<p,q>(＝_Q)<r,s>を、Nの言葉だけで書く。
2012-09-13 17:01:48
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】「Q的に<<a,b>,<c,d>>＝<<e,f>,<g,h>>」⇔「Z的に<a,b>・<g,h>＝<c,d>・<e,f>」⇔「Z的に<a・g＋b・h, b・g＋a・h>＝<c・e＋d・f, d・e＋c・f>(<>の中はN的に）」
2012-09-13 17:02:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】（つづき）⇔「N的に(a・g＋b・h)＋(d・e＋c・f)＝(b・g＋a・h)＋(c・e＋d・f)」ということですよ奥さん！
2012-09-13 17:02:28
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
交換則や結合則の成立が証明された後も、できればあまり括弧を省略したくないなぁ。こういう、「そう書けること自体が定理に依拠している」ノーテーションは悩ましい。特に、「どうせ同じことだからテキトーでいいや」ってノリで不必要に順番を入れ替えられたりすると読むほうはキツいのよ。
2012-09-13 17:11:57
@ta_shim_at_nhn
@y_bonten 危険な曲がり角は演算の区別もそうですが、その前の q, s に 0 を許すと =_Q が同値関係にならないところにも置いてください。
2012-09-14 08:55:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn 了解しました！単にゼロで割っちゃダメだよね、ではなく、同値類になることの証明のどこが破綻するかにも注意を払いたいですね。
2012-09-14 08:56:37
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】3章でextension by definitionを先生方にみっちり教えていただいて、それ自体は納得したのだけれど、等式の片々を加えたりする操作が許されるのかどうか、まだ僕には説明できない。ただちょっとこの問題は手に余るので、「いいんだ」ということにして先に進む。
2012-09-18 21:53:20
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】等号公理の周辺をちゃんと勉強してないから、ずっとここに悩まされるんだよな。ある関係が同値関係になることが示せたからといって、その関係にあるもの同士を自由に置き換える（代入する）ことができるわけではないよね？
2012-09-18 21:57:34
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】それから0で割っちゃいけない話だが、0_Zとは何だったかを復習。<0,0>を代表元とする同値類だった。「Z的に<a,b>＝<0,0>」⇔「N的にa＋0＝b＋0」⇔「N的にa＝b」だ。最後の言い換えも定理2.8と定理2.9を使ってる……なんてことはもう忘れてるよねぇ。
2012-09-18 22:10:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】これくらい準備して、やっとQ的等号が同値関係であることを示す過程が理解できる。反射性：Q的に<a,b>＝<a,b>⇔Z的にa・b＝b・a、これは定理3.7で「Z的・」の交換則が示されている。ここでのa,bはそれ自体が各々、自然数の順序対であることに注意（しつこいが）。
2012-09-18 22:23:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】対称性：「Q的に<a,b>＝<c,d>ならば<c,d>＝<a,b>」⇔「Z的にa・d＝b・cならばc・b＝d・a」これは「Z的・」の交換則と、「Z的＝」の対称性から示される。「Q的＝」の対称性を示すために、既に同値関係であると示された「Z的＝」の対称性を使っている。
2012-09-18 22:23:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】ほんで推移性を言うのがタイヘン。とりあえず示すべきことは「Q的に<a,b>＝<c,d>かつ<c,d>＝<e,f>ならば<a,b>＝<e,f>」⇔「Z的にa・d＝b・cかつc・f＝d・eならばa・f＝b・e」。
2012-09-18 22:42:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】普通の計算なら第1式をf倍、第2式をb倍してa・d・f（＝b・c・f)＝b・d・eとしてd≠0で割ってオシマイだが、これに相当する変形が可能かどうか。
2012-09-18 22:43:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】(a・d)・f＝(a・d)・fの右辺のa・dを、a・d＝b・cを用いてb・cに置き換えると、(a・d)・f＝(b・c)・fが得られる。これをやっていいかどうか、前述のように自信がないのだが、いいことにして進む。同様にb・(c・f)＝b・(d・e)。
2012-09-18 22:43:18